Застосування диференціала в наближених обчисленнях
С.р.. №10
Як уже зазначалось, приріст y функції у = f(х) у точці х можна наближено замінити диференціалом dy в цій точці:
y
dy. Підставивши сюди значення
y і dy, дістанемо
(6)
Абсолютна похибка величини y — dy є при
х
0 нескінченно малою вищого порядку, ніж
x , тому що при f' (х)
0 величини
y і dy еквівалентні (гл, 4, п. 4.3):
Оцінка (точність) формули (6) при фіксованих значеннях х та Дя з'ясована в п. 5.2.
Іноді користуються наближеною рівністю
f(х + х)
f(х). (7)
Якщо функція у = f (х) диференційовна в точці х, то абсолютна похибка формули (7) наближено дорівнює абсолютній величині диференціала:
Відносна похибка формули (7) визначається за формулою
Приклади
1. Знайти диференціал функції у= ln sin 2х: а) при довільних значеннях х i x; б) при х =
; в) при х =
і
x = 0,1.
О а) Користуючись формулою (4), знаходимо
dy = (ln sin 2x)' dx = 2 ctg 2xdx;
б) в)
2. Порівняти приріст y і диференціал dy функції у = х3 + 2x2.
О Знаходимо приріст і диференціал функції:
y= f (х+
x)-f (x)= (х +
x)3 + 2 (х +
x)2 - (х3 + 2x2) =
=(Зx2 + 4x) x + (3х + 2 +
x)
x2;
dy = f' (x) x = (3x2 + 4x) dx.
Величини y і
x еквівалентні при
x
0 і х
0, оскільки dx =
x і
Абсолютна похибка | y - dy| = |3х + 2 +
x|
x2 при
x
0 є нескінченно малою другого порядку в порівнянні з
x, тому що
якщо х -
і є нескінченною малою більш високого порядку, ніж другий, коли
x
0 і х
.
3. Довести, що при малих значеннях Дл: і х ;> 0 справедлива формула
О Розглянемо функцію f (х) = x
(0; +
). Маємо
I шукана рівність випливає з формули (6). Зокрема, якщо х = 1, то
С.р. №11
Теорема Лагранжа (теорема про скінченні прирости)
Теорема 3.8.Якщо функція
1) неперервна на відрізку ,
2) диференційовна в інтервалі ,
то в цьому інтервалі існує принаймні одна така точка ,
, що має місце рівність:
. (3.18)
Доведення. Побудуємо допоміжну функцію , де
. Підберемо
так, щоб функція
на кінцях відрізка мала рівні значення
:
,
.
.
Тоді
.
Функція задовольняє умови теореми Ролля. Вона: 1) неперервна на
, 2)
, 3) диференційовна на
. Отже, за цією теоремою знайдеться
таке, що
.
Знайдемо похідну . Тоді з умови
матимемо, що
, звідки
, що і потрібно було довести.
Геометричний зміст теореми Лагранжа
![]() | На рис. 3.7 зображено графік функції ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Отже, на гладкій дузі АВ графіка функції завжди знайдеться принаймні одна внутрішня точка
, в якій дотична паралельна хорді, що стягує кінці дуги А і В.
Зауваження. Теорему Лагранжа можна записати через прирости:
. (3.19)
Приклад 3.23. На дузі АВ кривої знайти точку М, в якій дотична буде паралельна хорді, якщо
,
.
Розв’язання. Функція неперервна і диференційовна для всіх значень х. За теоремою Лагранжа між двома значеннями
і
існує таке значення
, що має місце рівність, отримана з (3.18)
,
де . Підставивши відповідні значення, дістанемо:
,
;
.
Отже, маємо точку .
Теорема Коші (Cauchy theorem) (про відношення приростів двох функцій)
Теорема 3.9.Якщо функції і
1) неперервні на відрізку ,
2) диференційовні в інтервалі , причому
,
то в цьому інтервалі існує точка ,
така, що має місце рівність:
. (3.20)
Доведення. Рівність (3.20) можлива, оскільки ,
.
Побудуємо допоміжну функцію , де
. Підберемо
так, щоб функція
на кінцях відрізка мала рівні значення
:
,
.
.
Тоді
.
Функція задовольняє умови теореми Ролля. Отже за цією теоремою знайдеться таке
, що
.
Знайдемо похідну . Тоді з умови
матимемо, що
, звідки
, що і потрібно було довести.
Зауваження. Якщо в рівності (3.20) прийняти , то як наслідок отримаємо теорему Лагранжа (3.18).