Функция. Способы ее задания

Вернемся к независимым и зависимым переменным. Независимую переменную часто называют аргументом, зависимую – функцией.

Определение 1. Если каждому элементу некоторого множества ставится в соответствие элемент множества , говорят, что на множестве задана функция , здесь определяет закон, с помощью которого осуществляется это соответствие.

Примеры , .

Функция может быть задана в виде

· Таблицы,

· Графика,

· Формулы (аналитически).

В качестве примера приведена функция, аналитическое задание которой , табличное и графическое ее задание приведено ниже.

x 1.5 2.5
y 2.25 6.25

 

Аналитически функцию можно задать

· в явном виде (явное задание функции), когда из формулы следует, что переменная зависит , то есть является функцией аргумента ;

· неявно , когда любая из переменных может считаться независимой, тогда другая переменная является функцией. Пример неявного задания функции . Нетрудно заметить, что эта формула задает фактически две непрерывные функции и . Первая функция представляет верхнюю полуокружность, вторая – нижнюю ее часть.

· параметрически (параметрическое задание функции) , когда вводится дополнительный параметр . Исторически параметр t был связан со временем. Тогда параметрическое задание функции дает возможность не только установить, на какой линии находится точка, но и в каком месте этой линии она находится в заданный момент времени.

X
Y
A
B
Пример. . Нетрудно установить, что это параметрическое уравнение эллипса . При имеем правую крайнюю точку эллипса A , при находимся в точке B , то есть в верхней точке эллипса и т.д. Таким образом, параметрическое задание дает большую информацию о функции, чем другие аналитические ее представления.

X
Y
A
B

 

 


Определение 2. Множество называется областью существования функции, или областью ее задания. Область существования функции может быть шире, чем область ее задания. То есть функция может существовать на всей числовой оси, а используется она при .

Определение 3. Множество называется областью значений функции.

Определение 4. Любое подмножество числовой оси называется промежутком. Открытый промежуток, не включающий граничных точек, называется интервалом и обозначается или . Замкнутый промежуток, содержащий все внутренние и граничные точки, называется отрезком и обозначается или . Имеют место также полуинтервалы и . В первом случае в полуинтервал входит только левая граничная точка, во втором – только правая.

У функции область существования вся числовая ось то есть , область значений . У функции область существования или , область значений также . У функции область существования , область значений .

Вопрос 28.