Задача о производительности труда.

Экономический смысл производной.

Предельные и средние показатели.

При изучении экономических процессов выполняется расчет средних и предельных значений функций, выражающих зависимости между различными экономическими факторами.

Средняя величина показателя вычисляется как отношение значения определяющей его функции к соответствующему значению аргумента. Например, пусть функция выражает зависимость издержек производства y от объема выпускаемой продукции x. Тогда функция средних издержек на единицу продукции определяется по формуле:

(Для обозначения средних величин к обычному обозначению величин добавляется буква А).

Под предельным (маржинальным) значением показателя в экономическом анализе принято понимать производную функции этого показателя (если эта функция непрерывна). Так, в нашем примере предельные издержки производства:

(Для обозначения предельных величин к обычному обозначению добавляется буква М). Если функция показателя дискретна, то под предельной (маржинальной) величиной понимают отношение изменения функции к вызвавшему это изменение приращению независимой переменной.

Предельные величины характеризуют процесс изменения экономического объекта по времени или относительно некоторого фактора. Они выражают прирост соответствующего показателя в расчете на единицу прироста определяющего его фактора. Так, предельные издержки характеризуют приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Аналогично могут быть определены другие предельные показатели: предельная выручка, предельная себестоимость, предельная производительность, предельный доход, предельный спрос и др.

Применение дифференциального исчисления к исследованию экономических процессов и объектов на основе анализа предельных величин называется предельным анализом.

Пример. Зависимость между издержками С и объемом выпуска продукции q определяется функцией: . Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 300 ед.

Решение. Функция средних издержек на единицу продукции имеет вид:

Предельные издержки определяются по формуле:

Таким образом, при заданном объеме производства продукции q=300 ед. средние издержки составляют 7500 ден.ед., а предельные издержки, т.е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции составляют 15000 ден.ед.

Задача о производительности труда.

Пусть функция выражает количество произведенной продукции u за время t . Тогда производительность труда можно определить как предельное значение средней производительности труда при , т.е. как производную функции :

. (1)

Пример. Объем продукции, произведенной цехом может быть описан уравнением , где - рабочее время (ч). Вычислить производительность труда и скорость ее изменения при t=2 и t=5

Решение. Производительность труда найдем по формуле (1):

(ед/ч).

Скорость изменения производительности труда вычислим как ее производную: ( ).

Тогда в заданные моменты времени имеем:

(ед/ч), ( ).

Таким образом, производительность труда к концу рабочего дня снижается. При этом изменение знака свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется ее снижением в последние часы.

Эластичность функции.

Эластичностью непрерывной функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

Эластичность может быть выражена в виде отношения предельной и средней величин: .

Эластичность функции – безразмерная величина, значение которой не зависит от того, в каких единицах измерены величины x и y. Она показывает приближенно на сколько процентов изменится функция при изменении аргумента на 1%.

Свойства эластичности:

1. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций:

2. Эластичности взаимнообратных функций – взаимно обратные величины:

3. если с – постоянная, то ; .

Эластичность спроса.

Рассмотрим функцию спроса: зависимость количества покупаемого товара q от его цены p: q=q(p). Эластичность спроса по цене определяется по формуле: . (2)

Если >1, спрос называют эластичным. Небольшое изменение цены товара вызывает значительное изменение величины спроса на него.

Если 0< <1, спрос называют неэластичным. Изменение цены ведет к сравнительно небольшому изменению величины спроса.

Если =1, спрос называют нейтральным.

Исследуем динамику выручки при различных видах спроса.

Выручка от продажи товара по цене p составляет . Предельная выручка равна:

Заметим, что поскольку функция спроса является убывающей, ее производная <0. Поэтому и <0.

Следовательно:

- если спрос эластичен, то с повышением цены выручка от продажи снижается (для повышения выручки продавцам выгодно понижать цену);

- при нейтральном спросе выручка практически не зависит от цены;

- при неэластичном спросе повышение цены приводит к росту выручки (продавцам выгодно повышать цену).

Пример 1. Зависимость спроса q от цены единицы продукции p задается соотношением: . Найти эластичность спроса. При каких значениях цены спрос является эластичным, нейтральным, неэластичным.

Решение. По формуле (2) найдем эластичность спроса:

Учитывая, что p и q должны быть положительными,

>0,

p<576.

Спрос нейтрален, если . Найдем решение этого уравнения: p=256.

При 0<p<256 спрос неэластичен. При увеличении цены выручка будет расти.

При 256<p<576 спрос эластичен. Повышение цены для этих значений p не целесообразно. Если же цену снизить, то выручка от реализации будет расти за счет увеличения спроса.

Пример 2. Пусть функция спроса имеет вид: .

а) Найти эластичность спроса при цене, равной 10 ед.

б) Определить, как изменится выручка от реализации, если цену увеличить на 3%.

Решение. а) По формуле (2) эластичность спроса:

При показатель эластичности . Таким образом, при цене 10 ед. увеличение ее на 1% приведет к снижению спроса на 0,97%.

Спрос неэластичен, следовательно, увеличение цены приведет к росту выручки.

б) При цена увеличилась на 3%, т.е. стала равной .

Тогда спрос изменится на %, т.е. станет равным .

Выручка составит . Это означает, что выручка возросла приблизительно на 0,0027%.