Решите транспортную задачу. Проведите экономический анализ
О.Г.Ларионова
Методы оптимальных решений
Программа и контрольные задания для студентов, обучающихся по сокращенным образовательным программам
ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ
ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом; она складывается из чтения учебников и методических пособий, решения задач, выполнения контрольных заданий. Студент должен помнить, что только при систематической и упорной самостоятельной работе можно качественно освоить учебный материал.
Лекции и практические занятия, проводимые во время установочных сессий, носят преимущественно обзорный характер. Их цель - обратить внимание на общую схему построения курса или соответствующего его раздела, подчеркнуть важнейшие моменты, указать главные практические приложения, факты из истории науки.
В процессе изучения математических курсов студент должен выполнить контрольную работу, основной целью которой является оказание помощи студенту в его самостоятельной работе. Контрольная работа оформляется в отдельной тетради и направляется в вуз для проверки. Следует учесть, что контрольные работы должны быть присланы не позднее, чем за десять дней до начала экзаменационной сессии.
В соответствии с учебным планом завершающим этапом изучения данной дисциплины сдача экзамена. На экзамене студент должен проявить умение строить и исследовать математические модели предлагаемых экономических ситуаций, целенаправленно применять теоретические сведения к решению практических задач, знать теоретические основы курса на уровне определений, теорем, формул. Для высокой оценки студенту необходимо продемонстрировать умение доказывать основные теоремы и грамотно излагать базовые теоретические положения курса.
ПРОГРАММА КУРСА
1. Основные определения: целевая функция, система ограничений, математическая модель задачи, план задачи, допустимый план, оптимальный план.
2. Типы математического программирования.
3. Выпуклые множества, их элементы и свойства.
4. Задача об использовании ресурсов.
5. Задача составления смесей.
6. Графический способ решения задач линейного программирования с двумя переменными.
7. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
Двойственность в линейном программировании.
8. Понятие целочисленного программирования.
9. Транспортная задача. Метод потенциалов.
10. Динамическое программирование.
11. Графический способ решения задач нелинейного программирования.
Задания
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции z в заданной области D.
1.1.
а) D: (y-3)2=х-2; y=x-5. z=2у+3
б) D: y-x=3; y=8-4x; x+4y=2. z-5=(x-1)2+(y-1)2
1.2.
а) D: (x-1)2 =у-1; y=x-1. z=8х-2у+7
б) D: 3y=x+12; y=2x-1; x+2y=3. 3-z=(x+2)2+(y-1)2
1.3.
а) D: (у-3)2 =6-х; х+у=7. z=3х-6у+5
б) D: 2y=x-1; y=2x+4; x+4y=7. z-4=(x+1)2+(y-1)2
1.4.
а) D: (x-2)2 =3-у; y=x-1. z=4х-у+7
б) D: y+3x=4; y=x; 3x+5y=32. 5-z=(x-1)2+(y-3)2
1.5.
а) D: (у-4)2 =5-х; х-y+1=0. z=2х+4у-5
б) D: 3y=4-2x; y=28-6x; 2x-5y+12=0. 6-z=(x-3)2+(y-2)2
1.6.
а) D: (x+2)2 =у-1; y=x+5. z=3х+у-4
б) D: 3y=x+12; y=2x-1; x+2y=3. z+2=(x-3)2+(y-3)2
1.7.
а) D: (у-2)2 =х-1; y=x-5. z=х-8
б) D: y-x=3; y=8-4x; x+4y=2. z+3=(x+1)2+(y-3)2
1.8.
а) D: (x+2)2 =4-у; y+x=0. z=6х-2у+11
б) D: 2y=x-1; y=2x+4; x+4y=7. z-4=(x-1)2+(y-2)2
1.9.
а) D: (у-1)2 =4-х; 2y-x-1=0. z=3х+9у-11
б) D: y+3x=4; y=x; 3x+5y=32. 5-z=(x-2)2+(y-4)2
1.10.
а) D: (x+1)2 =у+5; y+x+4=0. z=4х-2у+7
б) D: 3y=4-2x; y=28-6x; 2x-5y+12=0. z+6=(x-4)2+(y-1)2
2. Решить задачи графически. Провести экономический анализ.
2.1 Для подкормки рассады требуется изготовить смесь из двух видов удобрений, каждое из которых содержит калий и магний в следующих количествах: первое – калия 9, магния 8, второе – калия 7,5, магния 12. В смеси должно быть не менее 90 единиц калия и 96 единиц магния. Первый вид удобрения стоит 8 у.д.е., второй – 11. Подобрать такой состав смеси, чтобы она оказалась наиболее дешевой по стоимости и требования по количеству калия и магния были выдержаны.
2.2 Для подкормки рассады требуется изготовить смесь из двух видов удобрений, каждое из которых содержит фосфор и магний в следующих количествах: первое – фосфора 4, магния 7, второе – фосфора 12, магния 8. В смеси должно быть не менее 48 единиц фосфора и 72 единиц магния. Первый вид удобрения стоит 30 у.д.е., второй – 45. Подобрать такой состав смеси, чтобы она оказалась наиболее дешевой по стоимости и требования по количеству калия и магния были выдержаны.
2.3 Для производства двух видов трикотажных изделий – свитеров и пуловеров – требуется три вида пряжи – высшего, 1 и 2 сорта. Запасы пряжи соответственно 224, 198 и 230. На пуловер затрачивается 14, 11 и 10 ед пряжи, а на свитер 16, 18, 23. От продажи пуловера предприятие имеет прибыль в 11, а от продажи свитера – 21 уде. Составить такой план выпуска вязаных изделий, при котором выручка будет наибольшей.
2.4 Завод выпускает изделия двух моделей ( I, II ) . Для их изготовления используются три вида ресурсов (А, В и С), запасы которых составляют 5000 4000 и 7000 ед. Расход ресурсов на одно изделие каждой модели приведен в таблице. Удельные прибыли от реализации изделий I и II составляют 25 и 40 ед. соответственно. Составьте план выпуска продукции, при котором прибыль будет максимальной.
| Ресурс | Расход ресурса на одно изделие данной модели | |
| I | II | |
| А | ||
| В | ||
| С |
2.5 Совхоз закупает удобрения двух видов. В единице массы удобрения первого вида содержится 3 ед. фосфора, 6 ед. калия и 3 ед. азота. В единице массы удобрения второго вида соответственно 4, 3, 7. На 1 га почвы необходимо внести не менее 15 ед. фосфора 17 ед. калия и 20 ед. азота. Составьте наиболее экономичный план закупки удобрений, если стоимость одной единицы первого 70 ден. ед., а второго—80 ден.ед.
2.6 Для оладий в столовой смешивается мука двух видов А и В. В каждом виде муки содержится сахар и сода в объемах 8 и 2 для А, 4 и 9 для В. В тесте для оладий должно быть не менее 96 ед сахара и 36 ед. соды. Стоимость ед. муки вида А – 6, вида В – 13 уде. Составить наиболее дешевый план закупки муки.
2.7 Для подкормки рассады требуется изготовить смесь из двух видов удобрений, каждое из которых содержит фосфор и калий в следующих количествах: первое – фосфора 6, калия 9, второе – фосфора 10, калия 8. В смеси должно быть не менее 40 единиц фосфора и 56 единиц калия. Первый вид удобрения стоит 27 у.д.е., второй – 35. Подобрать такой состав смеси, чтобы она оказалась наиболее дешевой по стоимости и требования по количеству фосфора и калия были выдержаны.
2.8Для производства двух видов трикотажных изделий – свитеров и пуловеров – требуется три вида пряжи – высшего, 1 и 2 сорта. Запасы пряжи соответственно 254, 228 и 250. На пуловер затрачивается 14, 11 и 10 ед пряжи, а на свитер 15, 17, 21. От продажи пуловера предприятие имеет прибыль в 18, а от продажи свитера – 21 уде. Составить такой план выпуска вязаных изделий, при котором выручка будет наибольшей.
2.9 Для оладий в столовой смешивается мука двух видов А и В. В каждом виде муки содержится сода и соль в объемах 10 и 14 для А, 6 и 20 для В. В тесте для оладий должно быть не менее 58 ед соды и 86 ед соли. Стоимость ед муки вида А – 11, вида В – 13 уде. Составить наименее дорогой состав оладьевого теста.
2.10 Ферма производит откорм скота с коммерческой целью. Из двух видов продуктов (I и II ) составляется пищевой рацион, который должен содержать вещества А—не менее 32 ед., вещества В – не менее 25 ед., вещества С – не менее 30 ед. и вещества D – не менее 20 ед. Стоимость единицы каждого продукта 50 и 60 ед. Содержание веществ А, В, С и D в продуктах I и II задано в таблице.
| Вещества | Содержание вещества в единице продукта | |
| I вид | II вид | |
| А | 1,7 | |
| В | ||
| С | ||
| D |
Составить пищевой рацион минимальной стоимости.
3. Решить задачи симплекс-методом. Провести экономический анализ.
3.1.Фирма «Манто» изготавливает три вида пальто – летние, зимние, демисезонные – из трех видов тканей – кашемир, шерсть, шелк. Запас кашемира на планируемый этап 117 у.е., шерсти – 144 у.е., шелка – 90 у.е. На летнее пальто идет 13 ед. кашемира и 9 ед шелка, на зимнее идет 12 ед кашемира и 12 ед шерсти, на демисезонное идет 6 ед шерсти и 15 ед шелка. Прибыль от реализации летнего пальто – 8 у.д.е., зимнего – 13 у.д.е., демисезонного – 7 у.д.е. Определить план выпуска изделий так, чтобы прибыль от реализации была наибольшей.
3.2.Частный предприниматель Иванов для сети аптек «Добрый доктор» изготавливает согревающие пояса трех видов: для мужчин, для женщин, для детей. На их изготовление идут собачья шерсть, козий пух, хлопок, запасы которых 1200, 700, 800 ед., соответственно. На каждый мужской пояс тратится 30 ед. шерсти, 7ед. пуха, 6 ед. хлопка; на женский – 20 ед. шерсти, 5 ед. пуха, 2 ед. хлопка; на детский - 12 ед. шерсти, 8 ед. пуха, 4 ед. хлопка. Иванов сдает в аптеку мужской пояс по цене 4 у.д.е., женский – 3 у.д.е., детский – 2 у.д.е. Какой выпуск изделий запланировать предпринимателю, чтобы получить максимальную прибыль и истратить как можно больше ресурсов.
3.3.Фирма «Кулинария» готовит три вида полуфабрикатов – фарш, ромштексы и бифштексы – из трех видов мяса – свинины, говядины, телятины. Запас свинины на планируемый этап 230 кг, говядины – 224 кг, телятины – 198 кг. На единицу веса фарша идет 10 ед. свинины, 5 говядины и 20 ед телятины, на ед. ромштексов идет 14 ед свинины и 16 ед говядины, на ед бифштексов идет 11 ед говядины и 18 ед телятины. Прибыль от реализации ед. фарша – 12 у.д.е., ед ромштекса – 15 у.д.е., бифштекса – 14 у.д.е. Определить план выпуска изделий так, чтобы прибыль от реализации была наибольшей.
3.4. При изготовлении трех видов колес (для байков, легковых и грузовых автомобилей) фирма «Шинник» использует резину, корд, металл. В условных единицах запасы материалов 600, 400, 300 ед. соответственно. На колеса для байков идет резины 3 ед., корда – 2 ед., металла -3 ед., для легковых автомобилей резины 4ед., корда – 4ед., металла -3 ед., а для грузовых - резины 5 ед., корда – 4 ед., металла -2 ед. Колеса для байков продаются по цене 40 у.д.е., для легковых автомобилей по цене 50 у.д.е., для грузовых – 60 у.д.е. Составить план выпуска колес, приносящий максимальный доход предприятию.
3.5. Ювелирная мастерская освоила выпуск брошек «Муха», «Бабочка», «Птичка», для чего раздобыла золото, медь и серебро в объемах 200, 120, 400 ед. Для мухи потребуется 10 ед. золота, 17 ед. меди и 6 ед. серебра, для бабочки - 20 ед. золота, 5 ед. меди и 2 ед. серебра, для птички - 12 ед. золота, 8 ед. меди и 4 ед. серебра. Муху планируется продавать по цене 5 у.д.е., бабочку – 6 у.д.е., птичку – 3 у.д.е. Составить план выпуска брошек, который принесет наибольшую прибыль мастерской
3.6. Мебельщик Вася решил заняться бизнесом, изготавливая и продавая кресла, стулья и пуфики. Он закупил 900 ед. древесины, 600 ед. поролона и 800 ед. ткани. На одно кресло идет 24 ед. древесины, 12 ед. поролона и 22 ед. ткани; на стул - 20, 22, 14 ед. соответственно, на пуфик - 12, 16 и 18 ед. Он решил продавать кресло и пуфик по цене 5 у.д.е., а стул по цене 6 у.д.е. Требуется составить такой план изготовления мебели из имеющихся материалов, чтобы прибыль у Васи была бы наибольшей.
3.7. Для изготовления трех видов пирожных (медовое, сахарное, заварное) фирма «Слатюня» использует муку, масло и сахар, которые имеются на складе в количествах 130, 100, 120 ед. соответственно. Известны технологические нормы расхода на каждое пирожное. Мука идет в количествах 4 ед. на медовое, 2ед. на сахарное, 5 ед. на заварное. Мука идет в количествах 4 ед. на медовое, 2ед. на сахарное, 5 ед. на заварное. Масло - в количествах 3 ед. на медовое, 1 ед. на сахарное, 4 ед. на заварное. Сахар - в количествах 2 ед. на медовое, 4 ед. на сахарное, 2 ед. на заварное. Отпускная цена медового пирожного 10 у.д.е., сахарного - 15 у.д.е., заварного - 18 у.д.е. Составить план выпуска изделий, приносящий максимальный доход фирме.
3.8. Ателье «Маруся» освоило пошив сложных моделей трех видов женской одежды: платья, юбки, жакеты. Запасы шерсти, поплина и трикотажа на складе имеются в объемах 1300, 1000, 800 ед., соответственно. При производстве этих изделий тратится шерсти 24, 20, 12 ед., соответственно на платье, юбку, жакет; поплина – 12, 32, 16 ед.; трикотажа – 22, 14, 28 ед. Прибыль от реализации платья – 5 у.д.е., юбки – 6 у.д.е., жакета – 7 у.д.е. Определить план выпуска изделий так, чтобы прибыль от реализации была бы наибольшей.
3.9. Девушка Таня поставила на поток изготовление трех видов оберегов «Домовой», «Баба Яга», «Богатей». Для этого она заготовила дерюгу (900 ед.), солому (700 ед.) и ткань (800 ед.). На домового идет 24 ед. дерюги, 12 ед. соломы и 22 ед. ткани; на Бабу Ягу – 20, 22, 14 ед. соответственно, на Богатея – 12, 16 и 18 ед. В интернет-магазине домового и богатея покупают по цене 5 у.д.е., а Бабу Ягу по цене – 6 у.д.е. Требуется составить такой план изготовления оберегов, при котором прибыль Тани будет максимальной.
3.10. Фирма «Вяжем веники» изготавливает три вида носочных изделий (носки, гамаши и гольфы) из трех видов пряжи: шерсти, хлопка, меланжа. Запас шерсти на планируемый этап 250 ед, хлопка – 244 ед, меланжа – 218 ед. На пару носок идет 12 ед. шерсти и 25 ед. меланжа, на пару гамаш идет 16 ед шерсти и 16 ед. хлопка, на пару гольфов идет 13 ед. хлопка и 20 ед. меланжа. Прибыль от реализации пары носок – 14 у.д.е., пары гамаш – 15 у.д.е., пары гольфов – 16 у.д.е. Определить план выпуска изделий так, чтобы прибыль от реализации была наибольшей.
Решите транспортную задачу. Проведите экономический анализ
4.1.. На четырех складах фирмы «Бим-Бом» содержится соответственно 300, 200, 150 и 250 ед сахара. Пять магазинов фирмы запрашивают 120, 330, 210, 100 и 80 ед. сахара. Составить план перевозок наименьшей стоимости, если матрица стоимостей имеет вид
..
4.2. Фирма «Смешная макаронина» имеет пять складов, на которых находится продукция в объемах 180, 100, 220, 80, 250. У нее имеются постоянные покупатели, которые на данный месяц запрашивают 120, 300, 150, 150 единиц продукции. Составить план перевозок наименьшей стоимости, если матрица стоимостей имеет вид
..
4.3.На четырех складах фирмы «Вермак» содержится соответственно 250, 300, 200 и 150 ед макаронных изделий. Пять магазинов фирмы запрашивают 220, 300, 250, 100 и 190 ед. макаронных изделий. Составить план перевозок наименьшей стоимости, если матрица стоимостей имеет вид
4.4. На четырех складах фирмы «Лапшеед» содержится соответственно 250, 300, 200 и 150 ед макаронных изделий. Пять магазинов фирмы запрашивают 220, 250, 240, 180 и 150 ед. продукции. Составить план перевозок наименьшей стоимости, если матрица стоимостей имеет вид:
4.5. На четырех складах фирмы «Трик-трак» содержится соответственно 300, 350, 240 и 260 ед лапши. Пять магазинов фирмы запрашивают 250, 270, 200, 150 и 190 ед. лапши. Составить такой план перевозок, чтобы стоимость его была наименьшей, если матрица стоимостей имеет вид
.
4.6. На четырех складах фирмы «Последний зуб» содержится соответственно 300, 350, 240 и 270 ед. карамелек. Пять магазинов фирмы запрашивают 250, 270, 200, 170 и 190 ед. карамелек. Составить план перевозок наименьшей стоимости, если матрица стоимостей имеет вид
.
4.7. На четырех складах фирмы «Бим-Бом» содержится соответственно 200, 320, 250 и 250 ед сахара. Пять магазинов фирмы запрашивают 220, 300, 260, 100 и 90 ед. сахара. Составить план перевозок наименьшей стоимости, если матрица стоимостей имеет вид
.
4.8. На четырех складах фирмы «Фантастика» содержится соответственно 250, 300, 250 и 150 ед печенья. Пять магазинов фирмы запрашивают 220, 300, 250, 150 и 190 ед. печенья. Составить план перевозок наименьшей стоимости, если матрица стоимостей имеет вид С.
.
4.9. На четырех складах фирмы «Бим-Бом» содержится соответственно 320, 230, 180 и 250 ед сахара. Пять магазинов фирмы запрашивают 120, 330, 210, 190 и 110 ед. сахара. Составить план перевозок наименьшей стоимости, если матрица стоимостей перевозок имеет вид
.
4.10. На четырех складах фирмы «Три поросенка» содержится соответственно 300, 350, 220 и 270 ед лапши. Пять магазинов фирмы запрашивают 250, 270, 200, 150 и 190 ед. лапши. Составить план перевозок наименьшей стоимости, если матрица стоимостей имеет вид:
