Числове диференціювання на основі інтерполяційної формули Лагранжа

Будемо диференціювати поліном Лагранжа у вигляді (7.6) по х як функцію від t

Враховуючи те, що згідно з (7.1) , а також , отримаємо остаточно

(7.7)

Користуючись формулою (7.7), можна обчислювати наближене значення довільної функції , якщо вона задана на відрізку значеннями в рівновіддалених вузлах (при цьому параметр t змінюється в межах від 1 до n). Аналогічно можуть бути знайдені похідні функції вищих порядків.

Приклад. Обчислити наближене значення похідної функції, заданої таблицею в точці х = 4.

Таблиця 2

x
f(x) –1

Застосовуючи формулу (7.7) при n = 2, h = 1, отримуємо

Враховуючи те, що вузол х = 4 відповідає значенню t = 1 (тобто отримуємо

Числове диференціювання на основі інтерполяційної формули Ньютона

Запишемо для функції , заданої своїми значеннями в рівновіддалених вузлах , перший інтерполяційний поліном Ньютона

Перепишемо цей поліном, виконавши перемноження дужок:

Диференціювання по t, отримаємо вираз, аналогічний (7.7)

(7.8)

Подібним чином можна отримати і похідні функції більш високих порядків. Проте кожний раз, обчислюючи значення похідної у фіксованій точці х, в якості х0 треба брати найближче зліва вузлове значення аргументу.

Формула (7.8) суттєво спрощується, якщо вихідним значенням х є один із вузлів таблиці. Оскільки в цьому випадку кожний вузол можна вважати початковим, то, приймаючи х = х0, t = 0, отримуємо

. (7.9)

Ця формула дозволяє легко і достатньо точно отримувати значення похідних функцій, заданих таблицею.

Приклад. Знайти значення похідної функції в точці х = 32. Скінченні різниці для цієї функції наведені в табл. 3. У цьому випадку h = 1,застосовуючи формулу (7.9) до даних першого рядка таблиці (до різниць третього порядку включно), отримуємо:

Порівнюючи отриману відповідь зі значенням

бачимо збіг значень в межах двох знаків після коми.

Таблиця 3

х Δу Δ2у Δ3у Δ4у
5,657 –2 –1
5,745 –1  
5,831 –1    
5,916      
6,000        

 

Графічне диференціювання

Нехай функція задана у вигляді таблиці:

.

Побудуємо ці точки на графіку (рис. 7.2) і з’єднаємо їх плавною кривою лінією. Побудуємо також для функції залежність .

 
 

Відкладаємо довільний відрізок МО і застосовуємо його як еталон. Із точки М проводимо пряму, паралельно дотичній до кривої в точці з абсцисою а; ця пряма перетне вісь ординат в точці . Із точки проводимо горизонталь до перетину з продовженням ординати із точки а. Отримуємо точку

За наступну точку візьмемо точку b. Пряма, проведена із точки М і паралельна дотичній до в точці b, збігається з віссю Ох. Точка b збігається з точкою .

Визначимо нахил дотичної до в точці С з абсцисою с і проводимо пряму паралельно цій дотичній до перетину в точці з віссю Оу; отримуємо і т. д.

З’єднуючи точки , отримуємо наближений графік похідної .

Cкінченні різниці

Для розрахунку похідної можна застосовувати дві прості наближені формули:

(7.10)

(7.11)

які відповідають вибору фіксованих значень і . Різницеві відношення в правих частинах формул називають правою і лівою різницевими похідними. Ці різницеві похідні наближають похідну з першим порядком точності по h.

Формули (7.10) і (7.11) мають просту геометричну інтерпретацію (рис. 7.3,а).

Нехай точки N0, N–, N+ розташовані на графіку функції і мають координати i .

Нагадаємо, що похідна дорівнює тангенсу кута α нахилу дотичної до осі Ох, проведеної до графіку функції в точці N0.

 
 

Формула (7.10) відповідає наближеній заміні похідної правою різницевою похідною що дорівнює тангенсу кута α+ нахилу січної, проведеної через точки N0 і N+ .

Формула (7.11) відповідає аналогічній заміні різницевій похідній що дорівнює тангенсу кута α– січної, яка проходить через точки N0 і N–.

Дивлячись на рис. 7.3,б, можна зробити висновок, що кращим порівняно з і наближенням до є тангенс кута нахилу α0 січної до графіку, проведеної через точки N– і N+. Формула розрахунку похідної в цьому випадку має вигляд

Величину в правій частині цієї формули називають центральною різницевою похідною. Центральна різницева похідна апроксимує з другим порядком точності відносно h.