Свойства универсального множества
Отношения между множествами
Два множества A и B могут вступать друг с другом в различные отношения.
A включено в B, если каждый элемент множества A принадлежит также и множеству B:
A включает B, если B включено в A:
A равно B, если A и B включены друг в друга:
A строго включено в B, если A включено в B, но не равно ему:
A строго включает B, если B строго включено в A:
A и B не пересекаются, если у них нет общих элементов:
Аи В не пересекаются 
A и B находятся в общем положении, если существует элемент, принадлежащий исключительно множеству A, элемент, принадлежащий исключительно множеству B, а также элемент, принадлежащий обоим множествам:
А и В находятся в общем положении 
2. Основные операции над множествами. Соотношения между множествами.
Бинарные операции.
Ниже перечислены основные операции над множествами:
пересечение:
объединение:
Если множества A и B не пересекаются: , то их объединение обозначают также: .
разность (дополнение):
симметрическая разность:
Декартово или прямое произведение:
Для лучшего понимания смысла этих операций используются диаграммы Эйлера — Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.
Унарные операции
Абсолютное дополнение:
Операция дополнения подразумевает некоторый универсум (универсальное множество U, которое содержит A):
Относительным же дополнением называется А\В (см.выше):
Мощность множества:
| A |
Результатом является кардинальное число (для конечных множеств — натуральное).
Множество всех подмножеств (булеан):
Обозначение происходит из того, что 
в случае конечных множеств.
Сначала выполняются операции дополнения, затем пересечения, объединения и разности, которые имеют одинаковый приоритет. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками.
Сравнение множеств
Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент B:
В этом случае A называется подмножеством B, B — надмножеством A. Если 
и 
, то A называется собственным подмножеством B. Заметим, что 
. По определению 
.
Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга:
Иногда для того, чтобы подчеркнуть, что множества могут быть равны, используется запись:
3. Диаграммы Эйлера-Венна. Универсальное множество.
Круги́ Э́йлера— геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.
Универса́льное мно́жество — в математике множество, содержащее все мыслимые объекты. Универсальное множество единственно.
Универсальное множество обычно обозначается U (от англ. universe, universal set), реже E.
Свойства универсального множества
Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества.
В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов.
Любое множество является подмножеством универсального множества.
В частности, само универсальное множество является своим подмножеством.
Объединение универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству.
В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.
Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству.
В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.
Исключение универсального множества из любого множества равно пустому множеству.
В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству.
Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению этого множества.
Дополнение универсального множества есть пустое множество.
Симметрическая разность универсального множества с любым множеством равна дополнению последнего множества.
В частности, симметрическая разность универсального множества с самим собой равна пустому множеству.
4. Перестановки. Бинарные отношения.
В комбинаторике перестано́вка — это упорядоченный набор чисел обычно трактуемый как биекция на множестве , которая числу i ставит соответствие i-й элемент из набора. Число n при этом называется порядком перестановки.
Число всех перестановок порядка n равно числу размещений из n по n, т.е. факториалу:
В математике бинарным отношением называется подмножество декартова произведения двух множеств. В частности, бинарным отношением на множестве называется множество упорядоченных пар элементов этого множества.