Эквивалентность бесконечно малых. Основные эквивалентности.
Таблица эквивалентных бесконечно малых при 
Пределы отношения бесконечно малых можно упрощать, откидывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные бесконечно малые. Для того, чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида 
) можно было применять к возможно большему числу примеров, мы должны иметь достаточно большой запас известных пар эквивалентных бесконечно малых величин. Для наиболее употребительной базы создадим такой запас в виде таблицы "стандартных" эквивалентных бесконечно малых.
Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу , для простоты записи обозначение этой базы будем пропускать и писать знак 
вместо 
.
1) 
. Эту формулу мы уже доказали и использовали в примерах. Эквивалентность 
и 
при означает в точности, что первый замечательный предел равен 1.
2) 
. Эта эквивалентность тоже была доказана выше в одном из примеров.
3) 
. Докажем эту эквивалентность:
4) 
. Докажите это в качестве упражнения, сделав замену 
и применив предыдущую табличную формулу.
5) 
. Для доказательства воспользуемся формулой 
. Далее, имеем:
Это означает, что доказываемая эквивалентность имеет место.
6) 
( 
). Для доказательства этой эквивалентности сделаем такое преобразование:
Для вычисления предела правой части воспользуемся непрерывностью логарифма и вторым замечательным пределом:
и мы доказали формулу 6.
В частном случае, при 
, получаем эквивалентность
) 
.
7) 
( ). Для доказательства сделаем замену 
и выразим через 
: 
. Согласно формуле 6, 
при , откуда 
. Из непрерывности логарифма следует, что 
и, значит, 
при 
. В этой формуле осталось лишь сменить обозначение переменного на , чтобы получить формулу 7.
В частном случае, при , получаем эквивалентность
) 
.
Сведём теперь полученные формулы в итоговую таблицу. Всюду в ней .
| 1) | .
|
| 2) | .
|
| 3) | .
|
| 4) | .
|
| 5) | .
|
| 6) | ( ).
|
| )
| .
|
| 7) | ( ).
|
| )
| .
|
Приведём примеры применения табличных формул для раскрытия неопределённостей вида .
Пример 2.37 Вычислим предел 
. Для этого в числителе вынесем за скобку 
, а к знаменателю применим формулу 
, где 
, 
. Получим
Мы заменили 
на эквивалентную величину 
(учтя при этом, что 
при ), 
на эквивалентную величину 
(учтя, что 
при ), затем сократили числитель и знаменатель на и, наконец, воспользовались тем, что функции и 
непрерывны и что 
и 
.
Пример 2.38 Вычислим предел 
Заменим в числителе 
на эквивалентную величину 
, а знаменатель 
-- на эквивалентную величину 
. После этого можно будет сократить дробь на 
и получить ответ:
Ещё раз обратим внимание читателя, что все формулы таблицы эквивалентных бесконечно малых относятся к базе . Следовательно, те же эквивалентности имеют место и при односторонних базах 
и 
. Если же рассматриваемый пример содержит неопределённость вида 
при какой-либо другой базе, то часто предел можно свести к пределу при "стандартной" базе (или , или ) с помощью подходящей замены переменной, а затем воспользоваться табличными эквивалентностями.
Пример 2.39 Вычислим предел 
.
Если сделать замену 
, то при 
новая переменная 
будет, очевидно, стремиться к 0, то есть база перейдёт при такой замене в "стандартную" базу 
. Подставляя 
и учитывая формулу приведения для косинуса, получаем:
Мы применили табличную формулу 
, а затем сократили дробь на 
и получили ответ.
Применяя формулы таблицы эквивалентностей бесконечно малых последовательно, мы можем получать (и использовать для вычисления пределов) цепочки эквивалентностей произвольной длины.
Пример 2.40 Можно, например, получить следующую формулу:
Здесь мы последовательно воспользовались формулами
и учли, что величины 
, 
, 
, 
являются бесконечно малыми при .
Используя полученную в результате эквивалентность
