Интегрирование тригонометрических функций.

Интегральное исчисление функции одной переменной.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если выполняется следующее соотношение: F’(x)=f(x), (F(x)+const)’=f(x). Вывод: для любой функции f(x) мы получаем целое семейство первообразных F(x)+c.

Теорема: любые 2 первообразные отличаются друг от друга на const.

f(x)dx – подынтегральное выражение.

Неопределенным интегралом будем называть любую первообразную на некотором интервале функции f(x). Основные свойства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Таблица основных интегралов:

f(x)	F(x)	f(x)	F(x)	f(x)	F(x)	f(x)	F(x)
dt	t+c	dt/t	ln/t/+c
							arctg(t)+c (-arcctg(t)+c)
sin(t)dt	-cos(t)+c	cos(t)dt	sin(t)+c
	-ctg(t)+c		tg(t)+c
	arcsin(t)+c (-arccos(t)+c)

Основные методы интегрирования:

1. Табличное интегрирование.
2. Тождественные преобразования.
3. Подведение под знак дифференциала.
4. Метод замены переменной.
5. Интегрирование по частям - .

Основные классы интегрируемых функций.

Интегрирование простейших дробей:

1. .

2. .

3. - сводится к табличному, выделение полного квадрата, внесение под дифференциал - . Частный случай – выделение полного квадрата под корнем.

4. - по реккурентной формуле, за 1 шаг понижаем степень на единицу.

Интегрирование дробно-рациональных функций - , n<m – правильная дробь, n>=m – неправильная дробь, выполнить деление.

Основной метод интегрирования правильной дроби состоит в разложении правильной дроби на простейшие дроби:

1. Для некратного корня получаем в разложении на множители - .
2. В случае кратности корней – сумма k дробей.
3. В случае комплексного корня - .
4. В случае кратных комплексных – сумма k дробей.

Всего в разложении знаменателя присутствуют 4 вида скобок, которые по стилю совпадают с 4 видами простейших дробей.

Самый простой вариант – корни в знаменателе не кратные. Каждому некратному корню будет соответствовать 1 дробь разложения.

Каждому кратному будет соответствовать сумма дробей в разложении, пока степень кратной последней дроби не понизится до 1.

В числителе каждой дроби разложения записывается многочлен с неопределенными коэффициентами степени на 1 меньше, чем степень внутри скобки.

Необходимо найти неизвестные коэффициенты при дробях в разложении.

Теорема 1: Для получения неопределенного коэффициента сравнивают дроби в левой и правой части, т.к. дроби равны, д.б. равны и числители.
Теорема 2: Для нахождения неопределенного коэффициента можно просто приравнивать многочлены в левой и правой части при одинаковых значениях x.

Интегрирование тригонометрических функций.

1. , , - по формулам.

2. - четная степень понижается - , .

3. - хотя бы m или n – нечетная, одну единицу из нечетной степени отделить и занести эту функцию под дифференциал, оставшуюся четную степень можео поменять на противоположную.

4. - использовать замену: ; . После такой замены под интегралом получаем дробно-рациональную функцию.

5. - замена t=tg(x) (вторая универсальная тригонометрическая подстановка), .

6. - замена tg(ax)=t, .