Тригонометрические и гиперболические функции
РЯДЫ
Методические указания
по выполнению типового расчета
Омск-2005
Составитель Чурашева Надежда Георгиевна, ст. преподаватель
Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета
Прежде чем приступить к выполнению типового расчета, студентам рекомендуется ознакомиться с содержанием справочного материала, а затем и с примерами решения задач.
Типовой расчет
Задача № 1.Найти сумму ряда.
Задача № 2. Используя признак сравнения сходимости, исследовать ряд на сходимость.
Задача № 3.Используя предельную форму признака сравнения сходимости, исследовать ряд на сходимость.
Задача № 4. Используя признак Даламбера, исследовать ряд на сходимость.
Задача № 5. Используя радикальный признак Коши, исследовать ряд на сходимость.
Задача № 6.Используя интегральный признак Коши, исследовать ряд на сходимость.
Задача № 7. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд.
Задача № 8.Найти радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.
Задача № 9. Используя дифференцирование и интегрирование степенных рядов, найти сумму и указать область сходимости данного ряда.
Задача № 10. Используя табличные разложения, составить ряд Тейлора по степеням (х–а) для указанной функции и указать область сходимости.
Задача № 11.Вычислить интеграл с точностью 0,0001.
Задача № 12.Найти первые 4 – 5 отличных от нуля членов в разложении решения у(х) дифференциального уравнения в ряд Тейлора по степеням (х–а).
Задача № 13.Разложить данную функцию y = f(x) c периодом 2p, заданную на интервале ]-p,p[, в тригонометрический ряд Фурье.
Задача № 14. Разложить функцию y = f(x), заданную на интервале ]0, l[, в тригонометрический ряд Фурье по косинусам.
Задача № 15. Разложить функцию y = f(x), заданную на интервале ]0; l[, в тригонометрический ряд Фурье по синусам.
| Задача | Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 | Вариант 4 | Вариант 5 |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
|
| Задача | Вариант 6 | Вариант 7 | Вариант 8 | Вариант 9 | Вариант 10 |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
|
| Задача | Вариант 11 | Вариант 12 | Вариант 13 | Вариант 14 | Вариант 15 |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
|
| Задача | Вариант 16 | Вариант 17 | Вариант 18 | Вариант 19 | Вариант 20 |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
|
| Задача | Вариант 21 | Вариант 22 | Вариант 23 | Вариант 24 | Вариант 25 |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
|
| Задача | Вариант 26 | Вариант 27 | Вариант 28 | Вариант 29 | Вариант 30 |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| 
|
| Вари- ант | Задача 13 | Задача 14 | Задача 15 |
| 1. | 
| 
| 
|
| 2. | 
| 
| 
|
| 3. | 
| 
| 
|
| 4. | 
| 
| 
|
| 5. | 
| 
| 
|
| 6. | 
| 
| 
|
| 7. | 
| 
| 
|
| 8. | 
| 
| 
|
| 9. | 
| 
| 
|
| 10. | 
| 
| 
|
| 11. | 
| 
| 
|
| 12. | 
| 
| 
|
| 13. | 
| 
| 
|
| 14. | 
| 
| 
|
| 15. | 
| 
| 
|
| 16. | 
| 
|
|
| 17. | 
| 
| 
|
| Вари- ант | Задача 13 | Задача 14 | Задача 15 |
| 18. | 
| 
|
|
| 19. | 
|
| 
|
| 20. | 
|
| 
|
| 21. | 
|
|
|
| 22. | 
|
| 
|
| 23. | 
| 
| 
|
| 24. | 
| 
| 
|
| 25. | 
|
| 
|
| 26. | 
|
| 
|
| 27. | 
|
|
|
| 28. | 
| 
| 
|
| 29. | 
| 
|
|
| 30. | 
| 
| 
|
Справочный материал
Тригонометрические и гиперболические функции
| функция | аргумент | |||||
| p/6 | p/4 | p/3 | p/2 | p | ||
| sin u | 1/2 | 
| 
| |||
| cos u |
|
| 1/2 | -1 | ||
| tg u = sin u/ cos u | 
| 
| 0 | |||
| ctg u = cos u/ sin u |
|
|
| sin(-u) = – sin u | cos(-u) = cos u | tg (-u) = – tg u | ctg (-u) = – ctg u | |
| sin(p–u) = sin u | sin(p+u) = – sin u | cos(p-u) = – cos u | cos(p+u) = – cos u | |
| sin(p/2–u) = cos u | sin(p/2+u) = cos u | cos(p/2-u) = sin u | sin(3p/2–u) = -cos u | |
| cos(p/2+u)= –sin u | sin(3p/2+u) = -cos u | cos(3p/2-u) = –sin u | cos(3p/2+u) = sin u | |
| sin2 u+ cos2 u = 1 | 1+tg2u = 1/cos2u | 1+ctg2u = 1/sin2u | 2sin u cos u = sin2u | |
| cos2u = cos2u-sin2u = 1-2sin2u = 2cos2u-1 | sin2u = (1– cos2u)/2 | cos2u = (1+cos2u)/2 | ||
| 
| |||
| sin a sin b = (cos(a–b)–cos(a+b))/2 | sin u = 2tg(u/2)/(1+tg2(u/2)) | |||
| cos a cos b = (cos(a–b)+cos(a+b))/2 | cos u = (1–tg2(u/2))/(1+tg2(u/2)) | |||
| sin a cos b = (sin(a–b)+sin(a+b))/2 | arcsin a + arccos a = p/2 | |||
sin a + sin b = 2sin  cos 
| sin a – sin b = 2sin  cos
| |||
| cos a + cos b = 2 cos cos
| cos a – cos b = –2 sin sin
| |||
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
Таблица эквивалентных бесконечно малых(a®0)
| sin a ~ a | ea – 1 ~ a | ln(1+a) ~ a |
| tg a ~ a | ba – 1 ~ a ln b | 1 – cos a ~ a2/2 |
| arctg a ~ a | arcsin a ~ a |  ~ a/m
|