Тема. Производная и ее приложения.
Пример 1. Найти производную функции 
.
Решение. Дифференцируем функцию по формулам 
Пример 2.Найти производную функции 
и вычислить ее значение при 
Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом 
Дифференцируем ее по формулам 
Вычислим значение производной при 
Пример 3.Найти производную функции 
Решение. Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:
Дифференцируя, получим
Пример 4. Составить уравнение касательной, проведенной к графику функции 
в точке с абсциссой х = 2.
Решение. Сначала найдем ординату точки касания А(2; у). Так как точка А лежит на кривой, то ее координаты удовлетворяют уравнению кривой, т.е.
Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке 
имеет вид у - 2 = k(х – 2). Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную:
Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции при х = 2:
Уравнение касательной таково:
или 
т.е. 
Пример 5.Закон движения точки по прямой задан формулой 
В какие моменты времени t скорость движения точки равна нулю?
Решение. Скорость прямолинейного движения точки равна производной пути s по времени t:
υ 
υ 
откуда t = 1.
Пример 6. Найти вторую производную функции f(x) = tg x.
Решение. Сначала по формуле 
найдем первую производную: 
.
Дифференцируя еще раз по формулам 
найдем вторую производную:
Пример 7. Точка движется по прямой по закону 
(s – в метрах, t – в секундах). Найти ускорение движения точки в конце второй секунды.
Решение. Сначала найдем производную пути s по времени t:
Ускорение прямолинейного движения точки равно второй производной пути s по времени t:
Ускорение движения точки в конце второй секунды равно 2 м/с2.
Пример 8. Число 36 представить в виде произведения двух таких положительных множителей, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
Решение. Пусть один из множителей равен х, тогда второй множитель равен 36/х. Сумма квадратов этих множителей есть
где х > 0.
Сначала найдем производную этой функции:
теперь найдем критические точки I рода:
Ясно, что х = - 6 не удовлетворяет условию, так как х > 0.
Отметим границы области определения и критические точки I рода на числовой прямой (рис.). Исследуем знак производной в окрестности точки 
< 0, 
> 0. Так как при переходе через критическую точку I рода х = 6 производная функция S меняет знак с минуса на плюс, то х = 6 – точка минимума.
Х
-6 - 6 +
Итак, число 36 надо разложить на два равных множителя: 6 и 6.
Пример 9. В прямоугольном листе картона длиной 48 см и шириной 30 см вырезают открытую прямоугольную коробку. Какова должна быть сторона вырезаемых квадратов, чтобы объем коробки был небольшим?
Решение. Пусть сторона вырезаемых квадратов равна х см, тогда длина коробки равна (48 – 2х) см, ширина (30 – 2х) см, а высота х см.
Объем коробки равен объему прямоугольного параллелепипеда, т.е. произведению трех его измерений:
Исследуем функцию V на экстремум. Для этого сначала найдем производную 
а затем найдем критические точки I рода:
х = 20 не удовлетворяет условию.
Отметим эти то1чки на числовой прямой (рис.)
 |
+ 6 - 20 х
Исследуем знак производной в окрестности точки х = 6: 
> 0, 
< 0, т.е. х = 6 – точка максимума. Итак, объем коробки является наибольшим, если сторона вырезаемых квадратов равна 6 см.
Пример 10. Построить график функции у = х3 – 3х.
Решение 1. Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, т.е. х = R.
2. Находим точки пересечения графика функции с осями координат:
 |
+ 1 - 1 + х
3. Находим экстремумы функции. Для этого сначала найдем производную 
Затем найдем критические точки I рода: 
Отметим эти точки на числовой прямой (рис.). Исследуем знак производной в каждом интервале; 
> 0, 
< 0, 
> 0. Функция возрастает при 
и убывает при 
Итак, х = -1 – точка минимума; 
- точка минимума; 
4. Находим направление вогнутости и точки перегиба графика функции. Для этого сначала найдем вторую производную 
а затем критические точки II рода: 
отметим эту точку на числовой прямой (рис.). Исследуем знак второй производной в каждом интервале: 
< 0, 
> 0.
Таким образом, график является выпуклым при 
и вогнутым при
; х = 0 – абсцисса точки перегиба, 
О(0,0) – точка перегиба графика функции.
- 0 + х
Отметим все полученные точки в системе координат и соединим их плавно кривой (рис.).
у
 |
-1 0 1 
х
-2
Для уточнения графика функции можно найти дополнительные точки, используя уравнение функции: у(-2) = -2, у(2) = 2.