Лаплас трленуіні асиеттері , болсын

Шешуі

Егер тмендегі ш шарт орындалса, онда наты t аргументіні кез-келген функциясы f(t) тпнса деп аталады:

1) t 0 боланда f(t) блікті зіліссіз;

2) t<0 боланда f(t)=0 ;

3) , мндаы М>0, -тратылар.

а) функциясы тмендегі шарттар орындалатындытан тпнса болады:

1) Функция зіліссіз;

2) 2 – шарт орындалады; 3) , себебі М=1, .

б) функциясы тпнса болмайды, йткені болмаанда екі шарт орындалмайды: 1) нктесі оны екінші ретті зіліс нктесі;

2) t<0 боланда , себебі кбейткіші жо.

2-3 Лаплас трлендіруіні асиеттерін пайдалана отырып f(t) функцияларыны F(p) бейнелерін аныта: a) ; б) ;

в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .

Шешуі

а) 1-кесте мен сызыты теореманы пайдаланамыз: ;

б) састы кестесі бойынша , ыыстыру теоремасы бойынша ;

в) 1 – кесте бойынша 1 , кешігу теоремасын олданамыз ;

г) Берілген функцияны трлендіреміз . Енді

1 – кесте мен сызыты теореманы пайдаланамыз ;

д) . Бейнені дифференциалдау теоремасы бойынша ; е) . Оригиналды интегралдау теоремасы бойынша ;

ж) боландытан, бейнені интегралдау теоремасы бойынша .

4 Тпнсаны берілген графигі бойынша бейнені табу керек.

Шешуі.

зіліс немесе згеріс болатын нктелерді арылы; зіліс нктелеріндегі секірісті арылы; бліктегі брышты коэффициенті арылы (мндаы ) белгілейміз. Бл трдегі функцияларды бейнесін формуласы арылы табу керек

Бл есепте:

Сондытан,

5. t жне функцияларыны йірткісін жне оны бейнесін анытау керек.

Шешуі

f(t) жне g(t) формуласыны йірткісі формуласымен табылады. Сондытан . йірткіні бейнесін 1- кесте жне сызыты теорема бойынша табамыз: .

6. Бейнелерді кбейту теоремасын олданып, , функциясыны йірткісін табу керек.

Шешуі

Кбейту теоремасы бойынша, егер болса, онда . Сондытан, .

7 Берілген бейнесі бойынша тпнсасын табу керек.

а) б)

Шешуі.

а) Рационалды – блшек функцияны арапайым блшектерге жіктейміз:

боланда:

алдындаы коэффициенттерді теестірсек бос мшені алдындаы коэффициенттерді теестірсек

Сондытан,

1 – кесте бойынша:

Сондытан:

б) 1 – кесте бойынша Тпнсаны интегралдау теоремасын пайдаланамыз:

8. Коши есебін амалды тсіл бойынша шешу керек.

Шешуі.

болса, тп нсаны дифференциялдау теоремасы бойынша:

Сондытан: берілген тедеуді операторлы тедеуі болады. Бдан

састы кестесі бойынша - бейнесіні тпнсасын кбейту теоремасы бойынша табуа болады:

Сондытан берілген тедеуді шешімі:

9. Анытамасын пайдаланып, функцияны бейнесін табу керек.

Шешуі

Анытама бойынша f(t) функцияны бейнесі деп тедеуімен аныталатын F(p) формуласын айтады. Сондытан .

10. функциясыны бейнесін дифференциалдау теоремасын олдану арылы табу керек.

Шешуі

, боландытан . Тпнсаны дифференциалдау теоремасы бойынша . Сондытан, , бдан .

11. Коши есебіні шешуін Дюамеля формуласыны кмегімен табу керек: .

Шешуі

кмекші тедеуін рып, оны операторлы тсілмен шешеміз операторлы тедеу. Оны шешуі - . Белгілі тсілдер арылы оны тпнсасын табамыз . Берілген тедеуді шешуін анытау шін формуласын олданамыз. боландытан, =