Метод подстановки для нахождения интегралов

Тип урока: усвоение навыков знаний

Цели урока:

1.Изучить сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) для неопределенных интегралов

2.Научиться находить неопределенные интегралы методом подстановки

План урока:

1.Повторение названий в обозначении неопределенного интеграла

2.Обратить внимание на аргумент подынтегральной функции и переменную интегрирования в обозначении неопределенного интеграла

3.Проверка выполнения домашней работы

4.Подчеркнуть совпадение аргумента подынтегральной функции и переменной интегрирования во всех примерах

5.Ответ на вопрос: зачем нужен метод замены переменной

6.Изучение сущности интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) для неопределенных интегралов

7.Нахождение неопределенных интегралов методом подстановки

8.Домашнее задание

 

Ход урока:

1º Повторение названий в обозначении неопределенного интеграла :

знак интеграла;

f (x) – подынтегральная функция;

d – знак дифференциала;

x – переменная интегрирования.

 

2º Обратить внимание на аргумент подынтегральной функции и переменную интегрирование:

f(x) – подынтегральная функция;

x – аргумент подынтегральной функции;

X – переменная интегрирования.

Вывод: Во всех табличных интегралах аргумент подынтегральной функции и переменная интегрирования совпадают

3º Проверка выполнения домашней работы:

Все решения предоставлены на стр. 8 предыдущего урока.

 

4º Подчеркнуть совпадение аргумента подынтегральной функции и переменной интегрирования во всех примерах.

 

5º Ответ на вопрос: зачем нужен метод замены переменной при нахождении неопределенных интегралов:

(№53.1, стр.198)

Найти

Можно преобразовать подынтегральную функцию в сумму:

(3x+2)³ (3x+2)² и раскрыть скобки. Это трудоёмко и не является общим приемом, т.к., например, (3x+2)⁵⁰ преобразовать в сумму не реально.

Как же найти данный интеграл?

На помощь приходит метод подстановки или способ замены переменной.

6º Изучение сущности интегрирования методом замены переменной (способа подстановки) для неопределенных интегралов:

· преобразуется в , который легко вычисляется методом непосредственного интегрирования

· После того, как интеграл относительно новый переменной «t» найден, с помощью подставки t=4(x) он сводиться к переменной x.

· Замечание: Если в результате переменной замены переменной данной интеграл стал проще, т.е. сводиться к табличному, то цель подстановки достигнута. В противном случае пробуем другую подстановку.

Пример 1: (№53.1, стр.198)

Найти:

Решение:

1) Пусть:

2) Находим дифференциал новой переменной опр.

=

3) Подставляем «t»и «dx» в условие:

=

=

Ответ:

 

7º Нахождение неопределенных интегралов методом подстановки:

Пример 2: (№53.2)

Найти:

Решение:

1) Пусть:

2)

3)

+ c

Ответ:

Пример 3: (№53.3)

Найти:

Решение:

Преобразуем подынтегральную функцию по определению степени с целым отрицательным показателем:

1) Пусть:

2)

3)

+ c

Ответ:

Пример 4: (№53.4)

Найти:

Решение:

1) Пусть:

2)

3)

Ответ:

Пример 5: (№55.1)

Найти:

Решение:

1) Пусть:

2)

3)

Ответ:

Пример 6: (№55.2)

Найти:

Решение: I способ

1) Пусть:

2)

3)

Ответ:

 

Решение: II способ

1) Пусть:

2) При нахождении дифференциала «t» пользуемся формулой дифференцирования сложной функции

*

3)

Ответ:

 

 

 

8º Домашнее задание

Найдите следующие интегралы:

 

1º (58.1)

2º (58.4)

3º (59.1)

4º (60.3)

5º (69.1)

Для преобразования подынтегральной функции используйте опр. 1 и опр. 2:

Опр.1 Степени с целым отрицательным показателем; n n

Опр.2 Степени с дробным показателем; m , n n

 

Решение домашнего задания

№ 1: (№58.1)

Найти:

Решение:

1) Пусть:

2)

3)

Ответ:

 

№ 2: (№58.4)

Найти:

Решение:

1) Пусть:

2)

3)

Ответ:

 

№ 3: (№59.1)

Найти:

Решение:

1) Пусть:

2)

3)

Ответ:

 

№ 4: (№60.3)

Найти:

Решение:

1) Пусть:

2)

=

3)

Ответ:

 

№ 5: (№69.1)

Найти:

Решение: I способ

1) Пусть:

2) =

3)

Ответ:

 

Решение: II способ

1) Пусть:

2)

3)

Ответ: