Бесконечно малые величины и их сравнение
Модуль IV
Введение в анализ
Блок №1
Предел числовой последовательности
Числовой последовательностью называют правило, по которому каждому натуральному числу 
ставится в соответствие действительное (комплексное) число 
. Последовательность обозначают символом 
( 
). Можно сказать, что последовательность является функцией 
( 
). Очевидным образом определяются сумма, произведение, частное двух последовательностей. Далее мы будем иметь дело лишь с последовательностями действительных чисел.
Число 
называется пределом последовательности , если для любого 
найдётся номер 
такой, что для любого 
выполняется неравенство 
. При этом пишут 
или 
и говорят, что последовательность сходится к числу 
.
Если , 
, то: 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
при ( 
).
Последовательность называется бесконечно малой, если 
.
Последовательность называется бесконечно большой, если для любого 
найдётся номер такой, что для любого справедливо неравенство 
; записывается это так: 
. Если при этом 
, начиная с некоторого номера, сохраняет положительный (отрицательный) знак, то пишут 
( 
) .
Важную роль играет последовательность 
Можно показать, что эта последовательность сходится, и ее предел обозначается буквой е: е 
2,718.
Задачи
Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения и понятия.
1.Определить номер 
такой, что 
при всех 
, если 
, 
, 
.
Решение. Для попробуем найти такое натуральное число 
, чтобы для всякого натурального выполнялось неравенство 
. Решим это неравенство и получим 
. Следовательно, 
, т.е. при неравенство 
выполняется при 
, начиная с 
. Геометрически это означает, что все члены последовательности, начиная с , содержатся в интервале 
.
Ответ. 
.
2.Вычислить пределы:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
;
Решение. Неопределенность 
во многих пределах раскрывается делением числителя и знаменателя на старшую степень переменной.
.
5) 
;
Решение. Неопределенность 
можно раскрыть, умножая и деля выражения на сопряженные к ним.
6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
;
11) 
; 12) 
; 13) 
.
Ответ. 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 0; 5) 
; 6) 0; 7) 
; 8) 1;
9) 
; 10) 0; 11) –1; 12) 
; 13) 1.
Задания для самостоятельного решения
1.Вычислить пределы:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
.
Ответ. 1) ; 2) 
; 3) ; 4) 
; 5) 2; 6) 
; 7) 0; 8) 0; 9) 3.
Блок №2
Элементарные функции
К элементарным функциям относятся: 1) простейшие элементарные функции: постоянная С, степенная 
, показательная 
, логарифмическая 
, тригонометрические 
и 
, обратные тригонометрические 
; 2) все функции, получающиеся из простейших элементарных функций путем применения конечного числа следующих четырех операций: сложение, умножение, деление, суперпозиция функций (сложная функция).
Предел функции
Пусть функция 
определена во всех точках интервала 
, за исключением, быть может, точки 
. Число А называется пределом функции в точке 
, если для любого существует число 
такое, что для любого x, удовлетворяющего неравенству 
, выполняется неравенство 
, при этом пишут 
. Можно дать другое, равносильное приведенному, определение: число A называется пределом функции в точке , если для любой последовательности чисел 
, сходящейся к , 
.
Если определена в интервале 
, то число A называется пределом при 
, если для любого существует число 
, такое, что неравенство 
влечет за собой неравенство . При этом пишут 
или 
. Аналогично определяется 
.
Число A называют пределом функции в точке слева (справа) и пишут 
или 
( 
, или 
), если для любого найдется такое, что для всех 
(для всех 
) справедливо неравенство . Число A является пределом в точке , если совпадают пределы в этой точке слева и справа: 
.
Если функция определена в интервале 
(в интервале 
) и для любого M существует такое, что для любого (для любого справедливо неравенство 
, то говорят, что левый (правый) предел функции в точке равен 
, и при этом пишут 
или 
( 
или 
). Аналогично определяются 
и 
.
Предел функции обладает теми же свойствами, что и предел последовательности: если , 
, то:
1) 
; 2) 
3) 
4) 
(последнее при 
). То же верно для односторонних пределов.
Бесконечно малые величины и их сравнение
Функция 
называется бесконечно малой величиной (б.м.в.) при 
, если 
. Пусть , 
– б.м.в. при и 
; тогда:
а) если 
, то говорят, что и являются б.м.в. одного порядка;
при С = 1 и называются эквивалентными б.м.в. и при этом пишут ~ ;
б) если С = 0, то называется б.м.в. более высокого порядка чем , и пишут 
.
При 
справедливы следующие соотношения, вытекающие из первого и второго замечательных пределов и непрерывности элементарных функций:
, 
, 
;
, 
.
Эти соотношения используют для раскрытия неопределённостей.
Задачи
Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения и понятия.
1.Пользуясь определением предела функции, доказать, что 
, и найти 
, если 
, 
, 
, 
.
Решение. Неравенство 
равносильно неравенству 
. Тогда 
, откуда получим 
. Выберем 
, следовательно 
. Из неравенства 
будет следовать неравенство 
.
Ответ. 
.
2.Найти предел функции:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
; 6) 
;
7) 
;
Решение. Подставляя 
в числитель и знаменатель, имеем неопределенность 
.
Разложим числитель и знаменатель на множители, получим
8) 
;
9) 
, если а) 
, б) 
, в) , г) 
;
10) 
;
Решение. Подставляя 
в числитель и знаменатель, имеем неопределенность . Раскроем эту неопределенность умножением числителя и знаменателя на сопряженное выражение к иррациональному.
11) 
;
12) 
;
Решение. Раскроем неопределенность переводом иррациональности из
знаменателя в числитель и наоборот.
13) 
;
Решение. Раскроем неопределенность приведением к общему знаменателю.
;
14) 
; 15) 
; 16) 
;
17) 
;
Решение. Раскрытие неопределенности сведем к первому замечательному пределу.
18) 
; 19) 
;
20) 
;
21) 
;
Решение. Раскрытие неопределенности 
сведем ко второму замечательному
пределу.
;
22) 
;
23) 
; 24) 
; 25) 
;
26) 
;
Решение. 
27) 
;
Решение. Учитывая, что
получим
28) 
.
Ответ. 1) -8; 2) 
; 3) 0; 4) 5; 5) 0; 6) ; 7) 0; 8) 6;
9) а) 0; б) 
; в) 
; г) –1; 10) 1; 11) 
; 12) 
;
13) 
; 14) 
; 15) 1; 16) 5; 17) 4; 18) 8; 19) 
;
20) ; 21) 
; 22) 
; 23) 
;
24) 
; 25) 0; 26) –3; 27) 
;
28) 
.