Производная сложной функции
Если у есть функция от и: у = f(u), где и в свою очередь есть функция от аргумента х: u = φ(x), т.е. если у зависит от х через промежуточный аргумент и, то у называется сложной функцией от х (функцией от функции): y = f(φ(x)).
Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной:
y’x = y’u u’x
Таблица производных:
| № | Функция у | Производная у’ |
| С | ||
| x | ||
| un | n∙un-1∙ u’ | |
| 
| |
| 
| |
| eu | eu∙u’ | |
| au | au∙ln a∙u’ | |
| ln u | 
| |
| loga u | 
| |
| sin u | cos u∙u’ | |
| cos u | – sin u∙u’ | |
| tg u | 
| |
| ctg u | 
| |
| arcsin u | 
| |
| arcos u | –
| |
| arctg u | 
| |
| arcctg u | –
|
Решение. а) у = х + 2
Используя правило дифференцирования (3) и формулы (1), (2), имеем:
у' = (x + 2)’ = (x)’ + (2)’ = 1 + 0 = 1.
б). y = (2x – 3)(3x + 2)
y’ = ((2x – 3)(3x + 2))’ = (2x – 3)’∙(3x + 2) + (2x – 3)∙(3x + 2)’ = 2∙(3x + 2) + (2x – 3)∙3 = 12x – 5. Здесь мы использовали правило дифференцирования (5).
в) у = 
Используя правило дифференцирования (7), имеем
г) у = 
Найдем производную, используя правило дифференцирования (4) и формулу (3).
у' = 
.
д) у =(x3 – 2x2 + 5)6
Пусть x3 – 2x2 + 5 = и, тогда у = и6. По формуле (3), получим у’ = (и6)’ = 6u5∙u’= 6(x3 – 2x2 + 5)5∙(x3 – 2x2 + 5)’ = 6(x3 – 2x2 + 5)5∙(3x2 – 4x).
е) 
По правилу дифференцирования (7) и формуле (10) получим:
= 
.
ж) 
Используя формулы (4) и (10), имеем:
.
з) y = tg(3x2 – 1).
По формуле (12) имеем:
y' = (tg(3x2 – 1))’ = 
.
и) 
.
По формуле (8), а также (3), (4), (5) имеем:
=
= 
.
9.Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = х3 – 12х на отрезке [0, 5].
Решение. Сначала найдем производную функции: у’ = 3х2 – 12.
Затем найдем критические точки, т.е. точки, в которых у’ = 0 или не существует: 3х2 – 12 = 0, откуда критические точки х1 = –2, х2 = 2. Точка х1 = –2 не принадлежит отрезку [0, 5], поэтому мы исключаем ее из рассмотрения.
Вычислим значения функции в критической точке х2 = 2 и на концах интервала и выберем из них наибольшее и наименьшее: у(2) = – 16, у(0) = 0, у(5) = 65.
Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке [0, 5] равно 65, наименьшее значение равно –16.
10. Исследовать функцию у = 
и построить ее график.
Решение. а) Найдем область определения функции.
Областью определения этой функции является вся действительная ось, за исключением двух точек х1 = –2 и х2 = 2, в которых имеет место разрыв (знаменатель х2 – 4 = 0). Т.о. область определения: (-∞; -2)U(-2; 2)U(2; +∞)
б) Исследуем функцию на четность-нечетность.
Функция четная, т.к. у(-х) = 
= у(х). Четность функции определяет симметрию ее графика относительно оси Оу.
в) Найдем вертикальные асимптоты графика функции.
Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на границе ее области определения. Точками разрыва являются х1 = –2 и х2 = 2.
Вычислим пределы функции в окрестностях этих точек.
Предел слева 
, предел справа 
.
Аналогично 
, 
.
Следовательно, прямые х = –2 и х = 2 являются вертикальными асимптотами функции.
г) Найдем горизонтальные или наклонные асимптоты графика функции.
Для этого вычислим пределы: 
и 
. Откуда (по формуле y = kx +b) заключаем, что уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид: y = 0x +1, т.е. у = 1.
д) Найдем экстремумы и интервалы монотонности.
Производная заданной функции у’ = 
равна нулю (у’ = 0) при х=0 и не существует при х = ±2. Но критической является только точка х=0 (т.к. значения х = ±2 не входят в область определения функции). Поскольку при x < 0 f’(x) > 0, а при x > 0 f’(x) < 0, то х=0 – точка максимума функции и fmах(x)= 
= – 1.
На интервалах (–∞; –2) и (–2; 0) y' + –
функция возрастает 
, на интервалах -2 0 2 x
(0; 2) и (2; +∞) –. убывает y
е) Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба.
Для этого надо найти вторую производную функции 
. Видно, что уравнение 
не имеет действительных корней, и это исключает существование у графика точек перегиба. Вместе с тем по корням знаменателя (–2 и 2) можно установить, что при переходе через эти значения х знаки 
меняются.
На интервалах (–∞; –2) и (2; +∞) функция выпукла вниз, на интервале (–2; 2) – выпукла вверх.
ж) Найдем точки пересечения с осями координат.
f(0) = = – 1, т.е. точка пересечения с осью ординат (0; -1). Уравнение f(х) = 0, (т.е. = 0), решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс.
На основании полученных данных построим график заданной функции.
у
-2 2 х
-1
11. Вычислить приближенно, используя дифференциал функции 
.
Решение. Для приближенных вычислений воспользуемся формулой:
.
Положим 
. Найдем производную 
. Тогда 
. Учитывая, что 
, возьмем 
и 
.
Тогда:
Ответ: 
12. Найти неопределенный интеграл:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Справочный материал
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если (F(x))’=f(x).
Первообразная определена неоднозначно: если F(x) – первообразная для функции f(x), то F(x)+C – также первообразная для данной функции.
Множество всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается 
, где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, С – произвольная постоянная (С = const), 
- знак операции интегрирования, d – знак операции дифференцирования.
Свойства неопределенного интеграла:
1. 
, где с = const.
2. 
.
3. 
.
Таблица 1 (неопределенных интегралов)
1. 
2. 
3.  n ≠ –1;
4.  ;
5.  ;
6.  ;
7.  ;
8.  ;
| 9.  ;
10. 
11.  ;
12.  (|x|<a, a≠0);
13.  (a≠0);
14.  (|x|≠a, a≠0);
15.  .
|
Решение. а)
Чтобы найти данный неопределенный интеграл, воспользуемся методом разложения, который заключается в разложении подынтегральной функции на сумму функций и использовании свойств неопределенного интеграла 1 и 2.
= 
= 
=(св-во 2) =
= 
= (св-во 1) = 
=(используем формулы 3 и 4 из таблицы 1 н.и.)= 
=
= 
.
Ответ: = .
б) 
.
Данный интеграл вычисляется методом замены переменной (линейная замена). Обозначим выражение в скобках через t: 3х – 1 = t, тогда d(3х – 1)=dt => 3dх = dt => 
.
= 
= 
= (по формуле 3 из таблицы 1 н.и.) = = 
= 
= 
.
Ответ: = .
в) 
.
Здесь при вычислении интеграла используется также метод замены переменной (нелинейная замена).
= 
= 
= 
= 
= (используем формулу 4 из табл.1 н.и.) = 
= 
.
Ответ: = .
г) .
Для решения этого примера нужно использовать метод интегрирования по частям.
Формула интегрирования по частям имеет вид: 
.
Этот метод применяется для двух групп интегралов:
I. 
; 
; 
(где 
). В этой группе в качестве u выбирают х, а остальная часть подынтегрального выражения принимается за dv ( 
).
II. 
; 
; 
; 
; 
(где ). В этой группе 
.
В нашем случае интеграл относится к первой группе интегралов, поэтому в качестве u возьмем 5х – 2 (u = 5х – 2), а dv = e3x∙dx.
= 
=
(по формуле интегрирования по частям) = 
=
= 
.
Ответ: = .
13. Вычислить определенные интегралы:
а) 
; б) 
.
Справочный материал
Для вычисления определенных интегралов используется формула Ньютона-Лейбница:
.
(где а – нижний предел интегрирования, b – верхний предел, F(x) – первообразная для функции f(x). Для нахождения первообразной F(x) используются те же методы, что и при вычислении неопределенных интегралов).
Решение.
а) = (формула 9 табл. 1 н.и.) = 
= 
.
Ответ: = 
.
б) Используем метод замены переменной: = 
=
= 
= (по формуле 3 табл.1 н.и.)= 
= 
= (т.к. ln1 = 0)= 
= 
.
Ответ: = 
.
Замечание: В отличие от метода замены для неопределенных интегралов, для определенных интегралов нет необходимости возвращаться к старой переменной интегрирования (х), если перейти к новым пределам интегрирования (в нашем примере старыми пределами были а = 0, b = 
, а новыми стали а = 1, b = 
).
14. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма цифр, выпавших на гранях кубика, будет четной и при этом хотя бы на одной из них появится цифра пять.
Решение. Каждый из шести исходов бросания одного кубика может сочетаться с каждым из шести исходов бросания другого кубика. Таким образом, общее число элементарных исходов испытания равно 
Благоприятствующими интересующему нас событию являются следующие пять исходов: 
Следовательно, искомая вероятность равна 
15. Пользователь разыскивает нужную информацию в трех базах данных. Вероятности того, что информация содержится в 
й, 
й, 
й базе, соответственно равны: 
; 
; 
. Используя теоремы сложения и умножения вероятностей, найти вероятность того, что информация содержится: а) только в одной базе; б) хотя бы в двух базах; в) только во 2-й и 3-й базах.
Решение
а). Введем обозначения: событие 
информация содержится в 
й базе; событие 
информация не содержится в й базе; событие 
информация содержится только в одной базе; событие 
информация содержится хотя бы в двух базах; событие 
информация содержится только во 2-й и 3-й базах.
Вероятности событий 
равны 
.
Рассмотрим событие 
. Информация содержится только в одной базе тогда, когда:
она содержится в первой и не содержится во второй и третьей
или
она содержится во второй и не содержится в первой и третьей,
или
она содержится в третьей и не содержится во первой и второй.
Тогда событие можно представить так 
. Здесь первое слагаемое 
– это произведение наступившего события 
и двух других, не наступивших событий 
и 
. Аналогично определяются второе и третье слагаемое.
Применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий и теорему умножения для независимых событий, получим:
б) Событие 
наступает тогда, когда не наступает одно из двух событий:
информация не содержится ни в одной из баз (событие 
);
информация содержится только в одной базе (событие ).
Тогда
.
в) Событие легко выписывается через произведение вероятностей: 
, тогда
.
16. Вероятность появления события 
в каждом из независимых испытаний равна 
. Найти вероятность того, что в 
независимых испытаниях событие появится: а) точно 
раз; б) не менее раз и не более 
раз.
Решение
а) По условию 
, 
. Используем локальную теорему Муавра-Лапласа: 
, 
. Найдем 
. По таблице для функции Гаусса:
определим значение 
. Искомая вероятность 
б) По условию 
, . Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа:
,
где 
, 
, 
– интеграл Лапласа.
В нашем случае 
и 
. По таблице определим значение 
и 
. Следовательно, 
.
17. Средний рост 
солдат равен 
Предположим, что рост является нормально распределенной случайной величиной с параметрами 
, 
. Определить число солдат в группе, рост которых: а) больше 1,9м; б) между 
и 
.
Решение.
а) Для решения воспользуемся формулой:
Подставив 
, получаем:
.
По таблице находим 
.
Следовательно, 
Таким образом, доля солдат с ростом выше 1,9м равна 4,56%. То есть, среди солдат ожидаемое число солдат с ростом выше 1,9м будет равно 
б) Для решения воспользуемся формулой:
Подставив 
, получаем:
.
По таблице находим 
Следовательно, 
Таким образом, доля солдат с ростом от 1,75 до 1,85м равна 68,26%. Таким образом, среди солдат ожидаемое число солдат с интересующим нас ростом будет равно 