Тема 1. Парная линейная регрессия.

1. Рассчитайте оценки параметров парной линейной регрессии, где у – расходы на покупку продовольственных товаров, % к общему объему расходов, а х – среднемесячная заработная плата 1 работника, тыс. руб.

Параметры а и b линейной регрессии рассчитываются в результате решения системы нормальных уравнений относительно а и b:

По исходным данным рассчитаем .

Система нормальных уравнений составит:

Решаем ее методом определителей: определитель системы ∆ равен:

,

,

,

Получаем уравнение регрессии: .

Этот же результат можно получить, используя следующие формулы для нахождения параметров:

, ,

где - дисперсия по факторному признаку.

Таблица 1. – Расчетные данные

Номер региона	х	у	ху				у-
	4,5	68,8	309,6	20,25	4733,44	67,1	1,7
	5,9	58,3	343,97	34,81	3398,89	59,3	-1,0
	5,7	62,6	356,82	32,49	3918,76	60,4	2,2
	7,2	52,1	375,12	51,84	2714,41	52,2	-0,1
	6,2	54,5	337,9	38,44	2970,25	57,7	-3,2
		57,1	342,6		3260,41	58,8	-1,7
	7,8		397,8	60,84	2601,00	48,9	2,1
Сумма	43,3	404,4	2463,81	274,67	23597,16	404,4
Среднее значение	6,186	57,77	351,97	39,24	3371,02	-	-

Продолжение таблицы 1

Номер региона	у-
	1,7	2,97	121,629	86,583	2,84	2,47
	-1,0	1,10	0,279	2,487	0,08	1,72
	2,2	4,61	23,315	7,189	0,24	0,51
	-0,1	0,01	32,165	31,346	1,03	0,19
	-3,2	10,19	10,702	0,006	0,00	5,87
	-1,7	2,88	0,451	1,051	0,03	2,98
	2,1	4,58	45,852	79,399	2,61	4,12
Сумма		26,33	234,39	208,06	6,83	20,86
Среднее значение	-	-	-	-	-	-

Однако, оперируя средними величинами, мы можем столкнуться с ошибками округления. Действительно, . Соответственно не совпадает и величина параметра , т.е.

При решении с помощью компьютера уравнение регрессии составило: .

Величина коэффициента регрессии означает, что с ростом заработной платы на 1 тыс. руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 5.5 % - х пункта.

2. Оцените тесноту связи между признаками.

Линейное уравнение регрессии дополняется расчетом линейного коэффициента корреляции:

или .

Так как то , что означает тесную обратную связь рассматриваемых признаков.

3. Рассчитайте коэффициент детерминации.

Коэффициент детерминации составит: , т.е. вариация у на 88,8 % объясняется вариацией х. На долю прочих факторов, не учитываемых в регрессии, приходится 11,2 %.

4. Проверьте значимость оценки коэффициента регрессии с помощью критерия Стьюдента при уровне значимости α=0,05.

Оценку статистической значимости коэффициента регрессии проведем с помощью t - критерия Стьюдента.

Выдвигаем две гипотезы:

Н₀ – коэффициент регрессии является статистически незначимым, т.е. b=0;

Н₁ – коэффициент регрессии статистически значим, т.е. b≠0.

Определим стандартную ошибку для коэффициента регрессии m_b:

.

Далее вычисляем значения t – критерия Стьюдента:

.

Фактическое значение t – критерии превосходит табличное значение на 5 %-м уровне значимости при числе степеней свободы =5: t_табл = 2,57. Поэтому гипотеза Н₀ отклоняется, т.е. b отличается от нуля не случайно и коэффициент регрессии является статистически значимым.

5. Постройте доверительный интервал для коэффициента регрессии.

Рассчитаем доверительный интервал для коэффициента регрессии, для чего определим предельную ошибку для параметра b.

.

Доверительные интервалы: , т.е.

Анализ верхней и нижней границ доверительного интервала приводит к выводу о том, что с вероятностью 95% коэффициент регрессии, находясь в указанных границах, не принимает нулевых значение, т.е. не является статистически незначимым и существенно отличен от нуля.

6. Составить таблицу дисперсионного анализа.

Результаты дисперсионного анализа приведены в таблице 2.

Таблица 2. – Таблица дисперсионного анализа

7. Оцените с помощью F – критерия Фишера-Снедекора значимость уравнения линейной регрессии.

В силу того, что F_факт=39,5> F_табл=6,61, гипотеза о случайности различий факторной и остаточной дисперсий отклоняется. Эти различия существенны, статистически значимы, уравнение значимо, показатель тесноты связи надежен и отражает устойчивую зависимость расходов на покупку продовольственных товаров от среднемесячной заработной платы.

8. Рассчитайте, каковы будут расходы на покупку продовольственных товаров, если среднемесячная заработная плата составит 8 тыс. руб.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если примем прогнозное значение среднемесячной заработной платы х=8, то точечный прогноз расходов составит: % - х пункта.

Чтобы получить интервальный прогноз, найдем стандартную ошибку предсказываемого значения расходов .

;

где - стандартная ошибка регрессии.

Предельная ошибка прогнозируемого расхода составит:

.

Доверительный интервал прогнозируемого расхода составит:

,

т.е. при среднемесячной заработной плате, равной 8 тыс. руб., расходы на покупку продовольственных товаров составят не меньше чем

% - х пункта

и не больше чем

% - х пункта.

9. Рассчитайте средний коэффициент эластичности.

Средний коэффициент эластичности для линейной регрессии рассчитывается по формуле:

.

Таким образом, получаем, что с ростом среднемесячной заработной платы на 1 % расходы на покупку продовольственных товаров снижаются на 4,14 %.

10. Определить среднюю ошибку аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации находится как средняя арифметическая простая из индивидуальных ошибок:

,

(см. последнюю графу расчетной таблицы 1).

Ошибка аппроксимации показывает хорошее соответствие расчетных и фактических данных: среднее отклонение составляет 2,98 %.

• ⇐ Назад
• 123
• Далее ⇒