Исследование функций, заданных параметрически
Пусть функция 
задана параметрическими уравнениями
Если функция 
монотонна и непрерывна, то
.
Пусть функции 
дифференцируемы и 
. По теореме о производной обратной функции:
.
Данная формула позволяет находить производную 
от функции, заданной параметрически, не находя явной зависимости 
от 
.
П р и м е р 4.Вычислить производную функции, заданной параметрически:
(параметрические уравнения эллипса).
Решение. 
, 
.►
Найдем вторую производную от функции заданной параметрически.
Из определения второй производной следует, что 
, то есть
или 
.
Аналогично получаем 
, 
,….
Задание 4. Построить график функции, заданной параметрически 
(кардиоида) и произвести исследования с помощью производных.
Решение.
1) строим график функции.
|
|
2) вычислим производную первого порядка:
3) найдем критические точки.
Получили критические точки
4) строим график производной функции
Анализируем поведение функции в этих точках с помощью графика производной и графика самой функции, заданной параметрически.
5) вычисляем производную второго порядка.
6) строим график второй производной
Из графика второй производной следует, что есть точки перегиба:
Эти выводы соответствуют виду графика функции, заданной параметрически.
Рис.7 – Выполнение задания 4
Кривые в полярной системе координат
Пусть задана полярная система координат с началом в точке О и лучом 
. Положение точки А на плоскости однозначно определяется с помощью координат 
, где 
- угол между лучом и лучом, на котором расположена данная точка А, выходящим из начала координат, 
- расстояние от начала координат до точки А, причем 
, а 
.
Рис. 4
Декартовы координаты 
связаны с полярными (рис. 4) по формулам
Многие кривые на плоскости удобно описывать как функции 
.
Задание 5. Построить кривую, заданную в полярной системе координат формулой 
.
Решение. Так как , то 
и 
.
1) вычислим производную и определим точки минимума и максимума
на промежутке 
.
Получили, что 
- точка максимума, при 
функция принимает наименьшее значение.
2) строим график функции.
Рис.7 – Выполнение задания 5
Задачи для самостоятельной работы
Задача 1.Построить график функции с помощью производной первого порядка.
1.  .
| 2.  .
| 3.  .
|
4.  .
| 5.  .
| 6.  .
|
7.  .
| 8. 
| 9.  .
|
10.  .
| 11.  .
| 12.  .
|
13.  .
| 14.  .
| 15.  .
|
Задача 2. Построить график функции с помощью асимптот.
1.  .
| 2.  .
| 3.  .
|
4.  .
| 5.  .
| 6.  .
|
7.  .
| 8.  .
| 9.  .
|
10.  .
| 11.  .
| 12.  .
|
13.  .
| 14.  .
| 15. .
|
Задача 3. Провести полное исследование функции и построить ее график.
1.  .
| 2.  .
| 3.  .
|
4.  .
| 5.  .
| 6.  .
|
7.  .
| 8.  .
| 9.  .
|
10.  .
| 11.  .
| 12.  .
|
13.  .
| 14. .
| 15.  .
|
Задача 4. Построить график функции, заданной параметрически, и провести его исследование с помощью производных.
1. 
| 2. 
| 3. 
|
4. 
| 5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
| 9. 
|
10. 
| 11. 
| 12. 
|
13. 
| 14. 
| 15. 
|
Задача 5. Построить кривую, заданную в полярной системе координат.
1.  .
| 2.  .
| 3.  .
|
4.  .
| 5.  .
| 6.  .
|
7.  .
| 8.  .
| 9.  .
|
10.  .
| 11.  .
| 12.  .
|
13.  .
| 14. 
| 15.  .
|
Содержание отчета по работе
1. Исходное задание и цель работы.
2. Распечатка контрольного примера и результатов машинного расчета.
4.5 Выводы по работе.
Контрольные вопросы