Экстремум функции двух переменных
Определение 11.Точка 
называется точкой максимума функции 
, определённой в области 
, если существует 
–окрестность 
точки 
такая, что для всех точек 
полное приращение 
.
Определение 12.Точка 
называется точкой минимума функции , определённой в области , если существует –окрестность 
точки 
такая, что для всех точек 
полное приращение 
.
Определение 13.Точка max или точка min функции называется точкой экстремума (точкой ext).
Определение 14. Значения функции в точках max и точках min называются соответственно максимальными (max) и минимальными (min) значениями функции .
Теорема 5(необходимые условия существования ext).
Если точка 
является точкой ext, то в этой точке обе частные производные 
и 
равны нулю.
З а м е ч а н и е. В точках ext частные производные могут и не существовать.
П р и м е р 6. 
– конус. Точка 
– точка ext, в которой и не существуют.
Обратная теорема не верна.
П р и м е р 7. 
; 
, 
,
имеем точку 
.
В любой малой окрестности точки 
приращение 
не сохраняет знака. Следовательно, точка не является точкой экстремума.
Определение 15. Точки, в которых и равны нулю или не существуют, называются критическими точками на ext.
Теорема 6(достаточный признак). Пусть функция трижды непрерывно дифференцируема и точка 
критическая, т.е. 
и 
в точке 
.
Если полный дифференциал 
знакопостоянен, то точка является точкой экстремума, причем точкой max, если 
и точкой min, если 
.
– квадратичная форма относительно приращений 
и 
. Введём обозначения: 
, 
, 
.
Определение 16. Квадратичная форма называется положительно определённой (отрицательно определённой),если 
и 
( 
).
Таким образом,
1) 
, 
точка – точка min;
2) , 
точка – точка max,
3) 
точка не является точкой экстремума;
4) 
требуется дополнительное исследование для точки .
Задание 4. Найти критические точки функции 
и исследовать их характер.
Решение.
1) найдем частные производные первого порядка.
|
|
|
|
|
2) для нахождения критических точек решим систему.
|
|
|
|
Точка (21,20) – критическая.
3) с помощью частных производных второго порядка проверим достаточное условие существования экстремума.
|
|
|
|
|
Получили, что точка (21,20) является точкой максимума.
Рис.4 – Решение задания 4
Задачи для самостоятельной работы
Задача 1.С помощью линий уровня исследовать поведение функции и построить ее график.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
.
10. 
. 11. 
. 12. 
.
13. 
. 14. 
. 15. 
.
Задача 2.Для указанной функции найти полные дифференциалы первого и второго порядка в точке 
.
1. 
, Р(1,2,3); 2. 
, Р(1,-1,2);
3. 
, Р(2,3,4); 4. 
, Р(1,1,1);
5. 
, Р(1,2,2); 6. 
, Р(3,1,2);
7. 
, Р(1,1,2); 8. 
, Р(1,2,3);
9. 
, Р(1,-1,0); 10. 
, 
;
11. 
, Р(1,4,2); 12. 
, Р(3,3,1);
13. 
, Р(1,3,4); 14. 
, 
;
15. , Р(2,2,3).
Задача 3.Для указанной функции найти производную по направлению вектора 
в точке 
.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
13. .
14. 
.
15. 
.
Задача 4.Найти критические точки функции и исследовать их характер.
1. 
; 2. 
;
3. 
; 4. 
;
5. 
; 6. 
;
7. 
; 8. 
;
9. 
; 10. 
;
11. 
; 12. 
;
13. 
; 14. 
;
15. 
.
Содержание отчета по работе
1. Исходное задание и цель работы.
2. Распечатка контрольного примера и результатов машинного расчета.
4.5 Выводы по работе.
Контрольные вопросы