Непрерывность функции, классификация точек разрыва
ИКТИБ ИТА ЮФУ
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ
Глава 4 Дифференциальное исчисление
функции одной переменной
Лекция 15 Дифференциал функции, производная
Классификация точек разрыва. Элементарные функции, непрерывность элементарных функций в области своего определения. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Приближение функции, приращение функции, главная часть приращения функции – дифференциал. Производная функции, геометрический и механический смысл производной. Вычисление производной – таблица производных и правила вычисления производной.
Непрерывность функции, классификация точек разрыва
Определение. Функции 
называется непрерывной в точке 
, если 
.
Функция непрерывна в точке , если она определена в окрестности точки , имеет односторонние пределы слева и справа при подходе к этой точке, эти пределы равны и совпадают со значением функции в этой точке.
Итак, функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки , имеет предел слева и справа при подходе к этой точке, эти пределы равны и совпадают со значением функции в этой точке.
Давайте уточним понятие одностороннего предела. Мы будем использовать запись 
для обозначения предела справа функции 
. В определениях пределов по Коши и по Гейне просто добавляются слова, что 
или соответственно, 
.
Итак, (предел функции справа по Коши) предел функции при 
стремящемся к справа равен 
(записывается ), если для каждого положительного, сколь угодно малого числа 
найдется число 
, обладающее тем свойством, что при условии 
и выполнено условие 
.
Запишем это определение в терминах математической логики: 
.
Соответственно, (предел функции справа по Гейне) Предел функции при стремящемся к справа равен (записывается ), если для каждой числовой последовательности такой, что 
и выполнено условие .
Как мы помним, определения пределов по Коши и по Гейне эквивалентны.
Аналогично введем понятие левостороннего предела. Мы будем использовать запись 
для обозначения предела слева функции . В определениях пределов по Коши и по Гейне просто добавляются слова, что 
или соответственно, 
.
Главный интерес в исследовании функций играют точки, в которых функция не является непрерывной. Такие точки называются точками разрыва функции. В связи с этим необходимо найти все точки разрыва заданной функции и правильно их классифицировать.
Точка разрыва 
функции точкой устранимого разрыва функции, если 
. Такое название связано с тем, что после изменения функции в одной точке (положив 
) функция становится непрерывной в этой точке. Примером устранимого разрыва является точка 
функции 
.
Точка разрыва функции скачком функции (скачок функции), если конечные пределы 
и существуют и при этом 
. Примером скачка разрыва является точка функции 
.
Устранимые разрывы и скачки функции называются разрывами 1 рода. Остальные точи отсутствия непрерывности называются разрывами 2 рода.