Аналогично, в методе правых прямоугольников

Si = h f(xi), i = 1,2,...,n; . (5.3)

и в методе средних прямоугольников

i = 0,1,2,...,n-1; , (5.4)

где , i = 0,1,2,...,n-1.

Приведенные формулы для S являются вычислительными формулами методов прямоугольников.

Оценим точность этих методов. В методе средних прямоугольников для каждого интервала разбиения получаем c учетом выражения для Si в (5.4):

. (5.5)

Для оценки Ri разложим функцию f(x) в ряд Тейлора около средней точки

(5.6)

В малой окрестности точки этот ряд с высокой точностью представляет функцию f (x) при небольшом количестве членов разложения. Поэтому, подставляя под знак интеграла вместо f (x) ее тейлоровское разложение (5.6) и интегрируя его почленно, можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью. T.е. точное значение интеграла на интервале [xi,xi+1] рав­но:

Подставим пределы интегрирования:

или, так как :

Все члены полученного при интегрировании ряда, имеющие (x-xi) в четной степени, обращаются в нуль. Поэтому получаем:

(5.7)

Сравнивая (5.5) и (5.7), можно записать выражение для погрешности Ri:

При малой величине шага интегрирования h основной вклад в значение Ri дает первое слагаемое, которое называется главным членом погрешности вычисления интеграла на интервале [xi,xi+1] и обозначается R0i:

. (5.8)

Главный член полной погрешности для интеграла на всем промежутке [a,b] определится как сумма:

. (5.9)

Здесь использован тот же метод средних прямоугольников, но для функции .

Степень шага h, которой пропорциональна величина R0, называется порядком метода интегрирования. Как видно из (5.9), метод средних прямоугольников имеет второй порядок.

Аналогично проведем оценку метода левых прямоугольников. Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=xi:

Интегрируя это разложение почленно на интервале [xi,xi+1] получаем

Здесь первое слагаемое есть приближенное значение интеграла, вычисленное по методу левых прямоугольников (см. формулу (5.2)) , а второе слагаемое является главным членом погрешности:

.   (5.10)

Тогда на всем промежутке интегрирования [a,b] главный член погрешности R0 получается суммированием частичных погрешностей R0i :

,   (5.11)

т.е. метод левых прямоугольников имеет первый порядок. Метод правых прямоугольников также имеет первый порядок, а главный член его погрешности выражается такой же формулой (5.11).

Сравнение (5.9) и (5.11) показывает, что метод средних прямоугольников имеет меньшую погрешность по сравнению с методом левых или правых прямоугольников и за счет коэффициента в знаменателе (24 > 2), и за счет интеграла от производной, т.к. для большинства функций выполняется неравенство

.

Следовательно, использование метода средних прямоугольников является предпочтительным, но использовать его удается не всегда. Если значения f(x) определяются из эксперимента в дискретном наборе узлов, то метод средних прямоугольников напрямую при­менить нельзя из-за отсутствия значений f(x) в срединных точках. В этой ситуации приходится применять либо какие-нибудь средства интерполяции, что приводит к дополнительным расходам машинного времени и памяти, либо другие методы численного интегрирования.

Метод трапеций

В этом методе подынтегральная функция f(x) на интервале [xi,xi+1] заменяется полиномом первой степени, т.е. наклонной прямой линией. Обычно эта прямая проводится через значения f(x) на границах интервала (рис.5.6). В этом случае приближенное значение частичного интеграла определяется площадью трапеции:

Рис.5.6. Геометрическая интерпретация метода трапеций ,   (5.12)  
т.е. , а численное значение интеграла на всем промежутке [a,b]
(5.13)
Это вычислительная формула метода трапеций.

Оценим погрешность Ri. Для этого разложим функцию f(x) в ряд Тейлора около точки xi :

(5.14)

Тогда

(5.15)

С помощью разложения (5.14) вычислим подынтегральную функцию в точке xi+h :

откуда

(5.16)

Подставляя произведение (5.16) в выражение (5.15), получим

(5.17)

Сравнивая (5.12) и (5.17), получаем выражение для главного члена погрешности частичного интеграла

.

Тогда главный член полной погрешности метода трапеций имеет вид

,   (5.18)

т.е. метод трапеций имеет также второй порядок, но его погрешность в два раза больше, чем в методе средних прямоугольников, поэтому, если подынтегральная функция задана аналитически, то предпочтительнее из методов второго порядка использовать метод средних прямоугольников.