Lineární funkce
Obsah
A nakonec
Uacute;vod
Cílem této práce bude strun a jasn vysvtlit matematické funkce, seznámit zaáteníky i pokroilé s tímto oborem. Tématem budou samozejm Funkce, základní a rozíené metodiky, postupy pi poítání. Na zaátku bych chtla vysvtlit, co to vlastn „ty funkce“ jsou, take njaká pesná definice, dále budu pokraovat seznamováním s jednotlivými druhy funkcí a pak se pustíme do píklad. Mými pomocníky v této práci budou wikipedie, odborná literatura a dalí zdroje. Toto téma jsem si vybrala, protoe mi nejen pipadá jako zajímavé, ale i téma, které je teba znát a umt ostatním vysvtlit, jeliko funkce nás budou provázet po celý ivot, jsou vude, kam se jen podíváte, a proto jsou tak dleité.
Sta
Definice
Funkce je vlastn název pro zobrazení njaké mnoiny M do mnoiny ísel (která jsou vtinou reálná nebo komplexní), nebo do vektorového prostoru (v tomto pípad mluvíme o vektorové funkci). Je to tedy pedpis, ve kterém je ke kadému prvku z mnoiny M jednoznan piazeno njaké íslo nebo vektor (hodnota funkce). Slovo funkce se nkdy také pouívá pro libovolné zobrazení.
Praxe
Funce v praxi mají velké uplatnní. Goniometrické funkce pedevím vyuívají architekti, inenýi a stavitele, lineární se budou hodit analitikm atd. V matematice jsou vhodné pro eení rovnic, nerovnic, porovnávání.
Zpsoby zadání funkce
1. Analyticky
Existují ti tvary vyjádení funkce analytickým zpsobem : exciplictní, implicitní a parametrický. Exciplitní vyjádení funkce vypadá takto : y=f(x), zatímco implicitní tvar vypadá trochu jinak : F(x, y)=0, parametrický vypadá dosti sloit, ale takový ve skutenosti není : x=f1(t), y=f2(t), kde je t vhodný parametr.
Píklad
Zápis kvadratické funkce analytickým zpsobem:
Emplicitní tvar | y=2x2 |
Implicitní tvar | y-2x2=0 |
Parametrický tvar | x=t ![]() |
2.Graficky
S tímto zpsobem se setkáváme u empirických funkcích, jejich hodnoty se získávají mením, nap. hodnoty teploty namené v prbhu dne.
Píklad
Píklad zadání funkce grafem. D(x) oznauje defininí obor a H(y) oznauje obor hodnot.
3.Tabulkou (výtem hodnot)
Pedpis funkce me být zadán také výtem hodnot, který obvykle uspoádáme do tabulky.
Píklad
Píkladem me být nap. zadání funkce
X | |||||
y |
Defininím oborem je zde mnoina {1, 2, 3, 4, 5}, a oborem hodnot je mnoina {2, 4, 6, 8, 10}
Základní vlastnosti funkcí
Funkce f se nazývá SUDÁ FUNKCE, práv kdy zárove platí:
1. Pro kadé x D(f) je také –x D(f)
2.Pro kadé x D(f) je f(-x)=f(x)
Bod A‘ [-x; f(x)] je soumrn sdruený s bodem A[x; f(x)] podle osy y, proto je graf sudé funkce osov soumrný podle osy y.
Funkce f se nazývá LICHÁ FUNKCE, práv kdy zárove platí:
1. Pro kadé x D(f) je také –x D(f)
2.Pro kadé x D(f) je f(-x)=-f(x)
Bod A‘ [-x; f(x)] je soumrn sdruený s bodem A[x; f(x)] podle poátku kartézské soustavy souadnic , proto je graf liché funkce stedov soumrný podle poátku kartézské soustavy souadnic.
Funkci f nazveme ROSTOUCÍ V MNOIN M, práv kdy pro kadé dva prvky x1, x2 z M platí: je-li x1 < x2, potom f(x1) < f(x2). Funkci f nazveme KLESAJÍCÍ V MNOIN M, práv kdy pro kadé dva prvky x1, x2 z M platí: je-li x1 < x2, potom f(x1) > f(x2). Místo „funkce f je rostoucí (klesající) v D(f)“ íkáme pouze „funkce f je rostoucí (klesající)“
Dále se budu zabývat lineární a kvadratickou funkcemi. Ukáu Vám jak vypadají, jejich grafy a obecné rovnice.
Lineární funkce
je taková funkce, její hodnota na celém jejím defininím oboru rovnomrn klesá nebo roste. Napíklad funkce f(x) = 3x je lineární.
Funkce f je lineární, pokud ji lze vyjádit ve tvaru
,
kde k i q jsou konstanty.
Parametr k je tzv. smrnice pímky, parametr q uruje její svislý posun. Defininí obor lineární funkce je .
Lineární funkce promnných má tvar
Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]
· grafem lineární funkce nad reálnými ísly je pímka rznobná s osou y
· lineární funkce jsou uzavené na skládání
· lineární funkce není ohraniená ani periodická
· pro k > 0 je lineární funkce rostoucí, pro k < 0 je klesající
· lineární funkce je spojitá
· pro q = 0 prochází poátkem a v takovém pípad je lichou funkcí
· lineární funkce má v kadém bod derivaci, která je rovna její smrnici
· primitivní funkce k lineární funkci je kvadratická funkce
· píklad:
– Vymezte lineární funkci, napite, jak je zadaná, co je jejím grafem, dolote na píkladu. V programu Funkce.exe, který je k dispozici na Moodlu, si vygenerujte njaký graf lineární funkce a vlote obrázek do práce. Funkci na obrázku popite v textu. Toté provete v Excelu. Na závr diskutujte, jaký vliv mají koeficienty a, b v pedpisu lineární funkce. Toto mete demonstrovat na obrázcích.
- sta-
– Napite, kterými funkcemi se budete v následujících kapitolách zabývat.
– Vymezte lineární funkci, napite, jak je zadaná, co je jejím grafem, dolote na píkladu. V programu Funkce.exe, který je k dispozici na Moodlu, si vygenerujte njaký graf lineární funkce a vlote obrázek do práce. Funkci na obrázku popite v textu. Toté provete v Excelu. Na závr diskutujte, jaký vliv mají koeficienty a, b v pedpisu lineární funkce. Toto mete demonstrovat na obrázcích.
– Vyberte si dalí typ funkce (kvadratická, lineární lomená, mocninná...) a postupujte stejn, jako v pedcházející kapitole.