Кинематика материальной точки

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч П О Ф И З И К Е

ЧАСТЬ 1

МЕХАНИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Методические указания для заочников

Тверь 2012

Кинематика материальной точки

1. Для описания движения материальной точки необходимо выбрать систему отсчета, включающую в себя тело отсчета (О), систему координат (например, декартову OXY) и часы. Линия в пространстве, по которой движется материальная точка, называется траекторией. Путь - это длина траектории. Вектор, соединяющий начало координат (О) и положение материальной точки в данный момент времени, называется радиус-вектором . Вектор, соединяющий начальное (1) и конечное (2) положения материальной точки, называется перемещением (обозначается ). Уравнения движения выражают зависимость координат или радиус-вектора от времени и имеют вид

или .

Уравнение траектории можно получить, исключив время из уравнений движения и выразив зависимость одной координаты от другой, например .

2.Мгновенная скорость точки характеризует ее перемещение за единицу времени и определяется как производная радиус-вектора по времени:

.

Проекции вектора скорости на оси ОХ и ОY могут быть найдены как производные от соответствующих координат:

,

.

Модуль(абсолютную величину) скорости можно найти по формуле

3. Ускорениеточки характеризует изменение ее скорости за единицу времени и равно производной вектора скорости по времени:

.

Проекции вектора ускорения a_х и a_у и его модуль а равны

,

,

4. Для удобства анализа характера движения точки ускорение раскладывают на две составляющие:

− тангенциальное ускорение a_t , характеризующее изменение вектора скорости только по величине; a_t равно производной модуля скорости по времени:

;

вектор сонаправлен с вектором скорости при ускоренном движении (а_t > 0) и направлен противоположно при замедленном движении (а_t < 0).

− нормальное ускорение a_n , характеризующее изменение вектора скорости только по направлению; поскольку векторы и взаимно перпендикулярны, для них справедливо выражение , и нормальное ускорение может быть найдено как

;

вектор нормален (перпендикулярен) вектору скорости направлен к центру кривизны траектории.

Радиус кривизны траектории R определяется как

и зависит от времени.

Пример

Уравнение движения материальной точки имеет вид: , где A= 4 м/с, В =-0,05 м/с².Построить графики зависимостей x(t); v_x(t); a_x(t) . Для этого вычислить их значения в интервале времени от 0 до t₀ с шагом Δt, где t₀ =100 с, Δt=5 с.

Решение:

1) - проекция скорости на ось х равна первой производной от координаты x от времени;

;

2) м/с² - проекция ускорения на ось х равна производной от проекции скорости на ось х. Так как проекция ускорения не зависит от времени, движение является прямолинейным равноускоренным.

3) График зависимости координаты от времени.

Графики зависимости проекции скорости на ось x от времени:

;

(м/с)

График зависимости проекции ускорения на ось x от времени:

а_x=-0,1 м/с²

12
• 3
• 4
• Далее ⇒