Краткие теоретические сведения

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 3

Производной функции в точке по направлению вектора называется предел отношения при (т. е. ) и обозначается :

Если функция имеет в точке непрерывные частные производные, то в этой точке существует производная по любому направлению из , которая вычисляется по формуле

где и - направляющие косинусы вектора .

Градиентом функции в точке называется вектор с началом в точке М, координаты которого равны значениям соответствующих частных производных в точке М:

Градиент показывает направление наибольшего возрастания значений функции. Для функции градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через точку .

Значение называется максимумом ( минимумом) функции п переменных , если оно является наибольшим (наименьшим)в некоторой окрестности точки , т. е. в этой окрестности выполняется неравенство (для минимума ). Точка называется точкой максимума (точкой минимума).

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции.

Точка называется критической точкой функции , если все частные производные равны нулю или какая – нибудь из них не существует.

Точка называется стационарной точкой функции , если она является внутренней точкой области определения и все частные производные в ней равны нулю.

Необходимое условие экстремума функции: Пусть дифференцируемая функция имеет экстремум во внутренней точке области определения функции. Тогда в точке значения всех частных производных первого порядка равны нулю:

Достаточное условие экстремума функции двух переменных: Пусть в критической точке частные производные первого порядка равны нулю: . Обозначим через число

где , , :

1. Если , то в точке функция имеет локальный экстремум, причем если , то локальный максимум, а если , то локальный минимум.

2. Если , то в точке функция не имеет экстремума.

3. Если , то вопрос о наличии экстремума в точке остается открытым.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в области D, заданной системой линейных неравенств

Для линейной функции двух переменных нет критических точек внутри области D, тогда линейная функция принимает наибольшее и наименьшее значения только на границе области.

Решением линейного неравенства с двумя неизвестными называется множество пар значений , которые при подстановке в неравенство обращают его в верное неравенство.

Множество решений линейного неравенства образуют на координатной плоскости XOY полуплоскость вместе с граничной прямой.

Для построения полуплоскости, заданной неравенством , надо:

· построить на плоскости граничную прямую

· из двух полуплоскостей, на которые координатную плоскость делит эта прямая, выбрать ту полуплоскость, в которой координаты любой точки , не лежащей на граничной прямой, удовлетворяют заданному неравенству.

Решением системы m линейных неравенств

называется множество точек , координаты которых удовлетворяют одновременно всем неравенствам – это пересечение всех полуплоскостей, соответствующих m неравенствам.

Если придать функции f произвольное фиксированное значение , то тогда уравнение определяет на плоскости прямую линию, которая является линией уровня функции f. Для функции градиентом является вектор , координатами которого служат коэффициенты при переменных в целевой функции.

Параллельным переносом прямой в направлении вектора находится точка «входа» в область, в которой целевая функция f достигает наименьшего значения, и точку «выхода» из области, в которой f достигает наибольшего значения.

В ходе исследования предполагается, что вид функциональной зависимости известен, требуется определить только параметры этой зависимости. Результаты исследования сведены в таблицу:

x				…
y				…

Требуется по табличным данным получить функциональную зависимость.

Метод наименьших квадратов предусматривает нахождение параметров a и b из условия минимума суммы квадратов отклонений , наблюдаемых значений от значений предполагаемой функции во всех экспериментальных точках :

· для линейной зависимости

Тогда из условий и получаются формулы для определения коэффициентов a и b линейной зависимости:

Решение типовых задач

1. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

Решение.

Находим частную производную первого порядка по х, считая, что у

постоянная :

Использовали формулу производной сложной функции

Находим частную производную первого порядка по у, считая, что х

постоянная:

Использовали формулу производной сложной функции

Находим частную производную второго порядка по у от

Считая, что х постоянная:

Использовали правило нахождения производной произведения

и формулу производной сложной функции

Находим частную производную второго порядка по у от

Считая, что х постоянная:

Подставив , , в уравнение ,

получим тождество

+ = ,

= ,

0 = 0.

Значит, функция удовлетворяет уравнению

т. е. функция является корнем уравнения

2. Вычислить производную функции в точке по направлению вектора , где .

Решение.

Найдем единичный вектор , имеющий данное направление:

где и - координаты точек и М соответственно.

Определим направляющие косинусы вектора , для чего найдем модуль вектора :

; .

Вычислим частные производные функции в точке :

, .

Получим:

Таким образом, производная функции в точке по направлению вектора равна .

Так как , то функция

возрастает по направлению вектора .

3. Найти градиент функции в точке и наибольшую скорость изменения функции в этой точке.

Решение.

Для нахождения градиента функции воспользуемся формулой

Находим частную производную первого порядка по х, считая, что у - постоянная:

Её значение в точке А (2; 1) равно

Находим частную производную первого порядка по у, считая, что х - постоянная:

Её значение в точке А (2; 1) равно

Следовательно, градиент функции

в точке А (2; 1) равен , т. е. .

Наибольшую скорость изменения функции в точке А (2; 1) найдем по формуле

4. Исследовать функцию на экстремум.

Решение.

Критические точки (возможного экстремума) функции двух переменных находятся из системы двух уравнений:

(необходимое условие экстремума функции). Найдем частные производные первого и второго порядка:

, ,

, , .

Для нахождения точек возможного экстремума решим систему уравнений

Таким образом, получили две критические точки и . Исследуем каждую из полученных точек на экстремум, используя достаточное условие экстремума:

а) для точки получим:

, ,

, так как , то функция имеет экстремум в точке , а именно – максимум, т. к. (достаточное условие экстремума).

б) для точки получим:

, ,

, так как , то функция не имеет экстремума в точке .

5. Найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции в области решений системы линейных неравенств

Решение.

Построим область решений системы неравенств, для чего построим граничные прямые. В качестве контрольной точки возьмем .

( неравенство верное, полуплоскость обращена в сторону точки ).

Областью решений системы является многоугольник OABCD, с учетом что

Для функции линиями уровня является семейство параллельных прямых .

Градиент функции - это вектор, координаты которого есть частные производные , .

линия уровня, . Значение функции возрастает в направлении вектора , параллельным движением линии уровня получаем, что О (0; 0) - точка «входа» в область, в которой функция принимает наименьшее значение, B (х; у) - точка «выхода» из области, в которой функция принимает наибольшее значение.

Определим координаты точки В (х; у) ( ):

В(1,2 ; 1,6), А (0; 0).

Вычислим значения функции в точках А (0; 0) и В(1,2 ; 1,6).

Следовательно,

6. В ходе исследования покупательского спроса получена таблица, где х - цена товара (ден. ед.), у – количество товара (усл. ед.). Предполагая, что между х и у существует линейная зависимость, найти эмпирическую формулу вида у = ах + b, используя метод наименьших квадратов.

Построить график полученной зависимости.