Образец выполнения контрольных заданий
Задание 1. Найти производную функции.
а) у = х2 (cos x – 4 sin x).
Решение. Воспользуемся формулой (uv)¢=u¢v+uv¢ и таблицей производных.
б) 
Решение. Воспользуемся формулой 
в) у = 
Решение. Имеем дважды сложную функцию
г) 
Решение. Имеем функцию у = у(х), заданную неявно. Продифференцируем это равенство, считая, что sin y, e – y – сложные функции:
В левой части группируем слагаемые с у', в правую часть переносим слагаемые, не содержащие у'.
д). 
.
Решение. Имеем показательно-степенную функцию 
.
Прологарифмируем данное равенство:
Продифференцируем данное равенство:
Задание 2. Найти 
для указанных функций.
1) 
Решение. Находим производную 1го порядка по правилу дифференцирования дроби.
Находим вторую производную:
2) 
Решение. Функция задана параметрически.
Находим производную первого порядка
Производная второго порядка
2) 
Решение. Найдем 
и 
Первая производная:
Вторая производная:
Задание 3. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график.
а) 
.
1) Область определения функции находим из условия: 
Д(у) = 
2) Функция не является ни четной ни нечетной, т.к. Д(у) несимметричное относительно х = 0 множество.
3) Находим точки пересечения с осями координат.Если х = 0, то у = 0.
Если у = 0, то х = 0.
График функции проходит через точку (0;0).
4) а) вертикальная асимптота х = –1.
Найдем односторонние пределы:
, кривая внизу.
, кривая вверху.
б) Наклонная асимптота. Находим:
Наклонная асимптота у = х – 3.
Построим ее по точкам:
х = 0 х = 3
у = –3 у = 0
в) горизонтальная асимптота.
.
Горизонтальных асимптот нет, но при х ®+¥, у®+¥ (кривая справа вверху), а при х ®–¥, у ®–¥ (кривая слева внизу).
5) Исследуем функцию на экстремум. Находим производную:
Находим критические точки:
у' = 0 при х = 0 или х = – 4
у' не существует при х = –1 
Д(у).
Отметим точки х = –1, х = 0, х = –4 на числовой прямой и определим знак производной в каждом интервале:
mаx нет экстр. min
у'' + – – + х
у – 4 – 1 0
Экстремальные точки:
т. max 
т. min 
Строим схематично график функции рис. 1.
5) Находим:
у'' = 0 при х = 0.
у'' не существует при х = –1 Д(у).
нет перегиба нет перегиба
– + + х
–1 0
 |
рис. 1.
2. 
1) Д(у): х > 0, т.е. х 
.
2) Функция не является ни четной ни нечетной, т.к. Д(у) не симметрична относительно х = 0.
3) х 
0, значит график ось Оу не пересекает.
Если у = 0, то х = 0 Д(у) или ln х = 0, ln x = ln 1, x = 1.
Отмечаем точку (1;0).
4) а) вертикальная асимптота х = 0:
Значит прямая х = 0 не является асимптотой но при х ® 0 справа кривая стремится к у = 0, т.е. к точке (0;0) снизу.
б) наклонная асимптота. Находим:
, нет наклонной асимптоты.
в) горизонтальная асимптота. Находим:
Горизонтальной асимптоты нет, но при 
. Кривая находится справа вверху.
5) находим:
у' = 0 при х = 0 или 
min
у' – + х
у 0 
Схематично изображаем график функции (рис. 2.)
6. Находим:
у'' = 0 при 
.
у'' существует во всех точках, 
Д(у)
т. перегиба
у'' – + х
у 0 Ç 
È
Уточняем график функции точкой перегиба.
 |
х
1 у
рис. 2
2. 
1) Д(у) = 
.
2) Функция не является ни четной, ни нечетной.
3) Если х = 0, у = 1.
Если у = 0, то х + 1 = 0, x = –1.
Отмечаем точки (0;1), (–1;0).
4) а) вертикальных асимптот нет.
б) наклонная асимптота. Находим:
к = 0 при х ® ¥.
,
значит наклонных асимптот нет.
в) горизонтальная асимптота. Находим:
у = 0 – асимптота при 
. Кривая стремится к оси Ох при х®+¥.
Кривая слева находится внизу.
5) Находим:
Находим критические точки:
у' = 0 при х = 0.
max
у' + – х
у
0
у'(–1)>0, у' (1)<0.
Изобразим схематично график функции (рис. 3.).
 |
рис. 3
6) 
у'' = 0 при х = 1.
т . перегиба
у'' – + х
у
Ç 1 È
у''(–1)<0, у''(2)>0.
Контрольная работа
Задача 1. Найти производную функции:
1.1 
; 
; 
;
; 
; 
.
1.2 
; 
; ;
; ; .
1.3 
.
1.4 
.
1.5 
.
1.6 
.
1.7 
/
1.8 
.
1.9 
.
1.10 
.
1.11 
/
1.12 
.
1.13 
.
1.14 
.
1.15 
.
1.16 
.
1.17 
.
1.18 
.
1.19 
.
1.20 
.
1.21 
.
1.22 
.
1.23 
.
1.24 
.
1.25 
.
1.26 
.
1.27 
.
1.28 
.
1.29 
.
1.30 
.
Задача 2. Найти производные второго порядка.
Задача 3. Методом дифференциального исчисления исследовать и построить график функции.
.
Задача 4. Пользуясь правилом Лопиталя вычислить пределы.
| 4.1
| 
| 
|
| 4.2 | 
| 
|
| 4.3 | 
| 
|
| 4.4 | 
| 
|
| 4.5 | 
| 
|
| 4.6 | 
|
|
| 4.7 | 
| 
|
| 4.8 | 
| 
|
| 4.9 | 
| 
|
| 4.10 | 
| 
|
| 4.11 | 
| 
|
| 4.12 | 
| 
|
| 4.13 | 
| 
|
| 4.14 | 
| 
|
| 4.15 | 
| 
|
| 4.16 | 
| 
|
| 4.17 | 
| 
|
| 4.18 | 
| 
|
| 4.19 | 
| 
|
| 4.20 | 
| 
|
| 4.21 | 
| 
|
| 4.22 | 
| 
|
| 4.23 | 
| 
|
| 4.24 | 
| 
|
| 4.25 | 
| 
|
| 4.26 | 
| 
|
| 4.27 | 
| 
|
| 4.28 | 
| 
|
| 4.29 | 
| 
|
| 4.30 | 
| 
|
Задача 5. С помощью формулы Тейлора приближенно вычислить. С точностью до 0,001.
, где 
- номер варианта.
Задача 6. Вычислить действительные корни уравнения 
с точностью 0,01. Значения а и 
взять из таблицы.
Таблица
| № вар | а |
|
| 6.1 | -8 | |
| 6.2 | ||
| 6.3 | -3 | |
| 6.4 | ||
| 6.5 | -8 | |
| 6.6 | -5 | |
| 6.7 | -8 | |
| 6.8 | -1 | |
| 6.9 | ||
| 6.10 | ||
| 6.11 | -7 | |
| 6.12 | ||
| 6.13 | -5 | |
| 6.14 | -6 | |
| 6.15 | ||
| 6.16 | -5 | |
| 6.17 | -5 | |
| 6.18 | ||
| 6.19 | ||
| 6.20 | -6 | |
| 6.21 | -3 | |
| 6.22 | -7 | |
| 6.23 | ||
| 6.24 | -6 | |
| 6.25 | -15 | |
| 6.26 | -5 | |
| 6.27 | -5 | 
|
| 6.28 | -5 | |
| 6.29 | -5 | 
|
| 6.30 | -5 | 
|
Задача 7. Дана кривая в параметрической форме, вычислить ее кривизну в точке 
и составить уравнение касательной при заданном параметре 
.
ТАБЛИЦА
| № вар | Уравнение кривой |
|
| 7.1 | 
| |
| 7.2 | 
| 
|
| 7.3 | 
| 
|
| 7.4 | 
| |
| 7.5 | 
| 
|
| 7.6 | 
| 
|
| 7.7 | 
|
|
| 7.8 | 
| |
| 7.9 | 
| |
| 7.10 | 
| |
| 7.11 | 
| |
| 7.12 |
| |
| 7.13 |
| |
| 7.14 | 
| 
|
| 7.15 | 
| |
| 7.16 | 
| |
| 7.17 | 
| |
| 7.18 | 
| |
| 7.19 | 
| |
| 7.20 | 
| |
| 7.21 | 
| 
|
| 7.22 | 
| |
| 7.23 | 
| |
| 7.24 |
| 
|
| 7.25 | 
|
|
| 7.26 | 
|
|
| 7.27 | 
| |
| 7.28 |
|
|
| 7.29 |
| |
| 7.30 |
|
Задача 8. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
на заданном отрезке 
.
| № вар |
| 
| |
| 8.1 | 
|  ,
| 
|
| 8.2 | 
|  ,
| 
|
| 8.3 | 
| ,
| 
|
| 8.4 | 
|  ,
|
|
| 8.5 | 
|  ,
| 
|
| 8.6 | 
|  ,
| 
|
| 8.7 | 
| ,
|
|
| 8.8 | 
| ,
| 
|
| 8.9 | 
| ,
|
|
| 8.10 | 
|  ,
|
|
| 8.11 | 
| ,
| 
|
| 8.12 | 
|  ,
|
|
| 8.13 | 
|  ,
|
|
| 8.14 | 
| ,
|
|
| 8.15 | 
| ,
| 
|
| 8.16 | 
| ,
|
|
| 8.17 | 
|  ,
| 
|
| 8.18 | 
|  ,
|
|
| 8.19 | 
|  ,
| 
|
| 8.20 | 
| ,
|
|
| 8.21 | 
| ,
|
|
| 8.22 | 
| ,
|
|
| 8.23 | 
| ,
| 
|
| 8.24 | 
|  ,
|
|
| 8.25 | 
| ,
|
|
| 8.26 | 
| ,
|
|
| 8.27 | 
| ,
|
|
| 8.28 | 
| ,
|
|
| 8.29 | 
| ,
|
|
| 8.30 | 
| ,
|
|