Вопрос 2. Обобщенные характеристики законов распределения
Тема 2. Математические основы надежности
Случайные величины, законы распределения, их характеристики
Вопрос 1. Случайные величины, закон распределения случайной величины.
Случайной называют величину, которая в результате испытания может принять одно из возможных заранее неизвестных значений. Случайным величинам противопоставляются величины детерминированные, значения которых предопределяются начальными условиями.
Случайные величины подразделяются на дискретные (принимающие отдельные значения) и непрерывные. Число дефектных деталей в партии изделий - дискретная случайная величина, возможные значения которой 0, 1, 2, 3, ... . Время безотказной работы изделия - непрерывная случайная величина.
Совместные (несовместные) события – такие события, появление одного из которых не исключает (исключает) возможности появления другого.
Зависимые (независимые) события – такие события, появление одного из которых влияет (не влияет) на появление другого события.
Противоположное событие относительно некоторого выбранного события А – событие, состоящее в не появлении этого выбранного события (обозначается 
).
Полная группа событий – такая совокупность событий, при которой в результате опыта должно произойти хотя бы одно из событий этой совокупности. Очевидно, что события А и составляют полную группу событий.
Закон распределения случайных величин указывает на взаимосвязь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.
| Возможные значения | 
| 
| 
| … | 
|
| Вероятности | 
| 
| 
| … | 
|
Закон распределения может быть задан аналитически (формулой), в виде таблицы, графиком или диаграммой (рис. 1)
Рис. 1
Основное свойство любого закона распределения
где 
— вероятность значения случайной величины 
.
Это свойство становится понятным, если учесть, что вероятность значения , есть относительная доля общего числа случаев, приходящаяся на данное значение параметра.
Вопрос 2. Обобщенные характеристики законов распределения
Основными обобщенными характеристиками (параметрами) закона распределения являются среднее значение и среднеквадратичное отклонение. Среднее значение случайной величины представляет собой обычное среднее всех значений, полученных во время испытаний. Общая совокупность большого числа однородных изделий (теоретически бесконечная) называется генеральной, а партия 
испытуемых изделий - выборкой (объема ) из генеральной совокупности.
В теории вероятности большую роль играет понятие математическою ожидания (среднего значения для генеральной совокупности).
Математический ожиданием случайной величины 
, имеющей возможные значения 
с вероятностями 
называют
(взвешенная формула)
В некоторых случаях математическое ожидание случайной величины принято обозначать 
.
Среднеквадратичное отклонение случайной величины определяют но формуле
(взвешенная формула)
Для теоретического анализа часто оказывается более удобным понятие дисперсии случайной величины , которая представляет собой математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины:
