Записать уравнение окружности, проходящей через указанные точки и имеющей центр в точке .
Индивидуальная работа №3
Прямая и плоскость в пространстве.
Кривые второго порядка»
1. Даны четыре точки ,
,
и
. Составить уравнения:
Плоскости .
Прямой .
Прямой , перпендикулярной к плоскости .
Прямой , параллельной прямой .
Плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к прямой .
Вычислить:
Синус угла между прямой и плоскостью .
Косинус угла между координатной плоскостью и плоскостью .
Варианты:
1.1. ,
,
,
.
1.2. ,
,
,
.
1.3. ,
,
,
.
1.4. ,
,
,
.
1.5. ,
,
,
.
1.6. ,
,
,
.
1.7. ,
,
,
.
1.8. ,
,
,
.
1.9. ,
,
,
.
1.10. ,
,
,
.
1.11. ,
,
,
.
1.12. ,
,
,
.
1.13. ,
,
,
.
1.14. ,
,
,
.
1.15. ,
,
,
.
1.16. ,
,
,
.
1.17. ,
,
,
.
1.18. ,
,
,
.
1.19. ,
,
,
.
1.20. ,
,
,
.
1.21. ,
,
,
.
1.22. ,
,
,
.
1.23. ,
,
,
.
1.24. ,
,
,
.
1.25. ,
,
,
.
1.26. ,
,
,
.
1.27. ,
,
,
.
1.28. ,
,
,
.
1.29. ,
,
,
.
1.30. ,
,
,
.
Решить следующие задачи.
2.1. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку параллельно плоскости
.
2.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку, если
,
.
2.3. Найти расстояние от точки до плоскости
2.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости
.
2.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось и точку
.
2.6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ,
параллельно оси
.
2.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую
.
2.8. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и
.
2.9. Составить общие уравнения прямой, образованной пересечением плоскости с плоскостью, проходящей через ось
и точку
.
2.10. Составить уравнение плоскости в отрезках, если она проходит через точку и отсекает на оси
отрезок
, а на оси
-
.
2.11. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам
и
.
2.12. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ,
перпендикулярно плоскости
.
2.13. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям и
.
2.14. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ,
параллельно вектору
.
2.15. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно вектору , если
,
.
2.16. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку параллельно плоскости
.
2.17. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к отрезку
, если
,
.
2.18. Показать, что прямая параллельна плоскости
, а прямая
лежит в этой плоскости.
2.19. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно координатной плоскости
.
2.20. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось и точку
.
2.21. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ,
параллельно оси
.
2.22. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую
2.23. Найти проекцию точки на плоскость
.
2.24 Определить, при каком значении плоскости
и
будут перпендикулярны.
2.25. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку и отсекает на осях координат отличные от нуля отрезки одинаковой величины.
2.26. При каких значениях и
прямая
перпендикулярна к плоскости
.
2.27. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ,
перпендикулярно к плоскости
.
2.28. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к плоскостям и
.
2.29. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и
параллельно вектору
.
2.30. Определить, при каком значении плоскости
и
будут перпендикулярны.
Решить следующие задачи.
3.1. Доказать параллельность прямых и
3.2. Доказать, что прямая параллельна плоскости
, а прямая
лежит в этой плоскости.
3.3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с осями координат углы, соответственно равные
,
и
.
3.4. Доказать, что прямая перпендикулярна к прямой
3.5. Составить параметрические уравнения медианы треугольника с вершинами ,
,
, проведенной из вершины
.
3.6. При каком значении прямая
паралельна прямой
3.7. Найти точку пересечения прямой и плоскости
.
3.8. Найти проекцию точки на плоскость
.
3.9. При каком значении плоскости
и
перпендикулярны?
3.10. При каком значении плоскость
параллельна прямой
?
3.11. При каких значениях и
прямая
перпендикулярна к плоскости
?
3.12. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат параллельно прямой
3.13. Проверить, лежат ли на одной прямой точки ,
и
.
3.14. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой
3.15. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно к прямым
и
.
3.16. При каких значениях и
плоскость
перпендикулярна к прямой
?
3.17 .Показать, что прямая параллельна плоскости
, а прямая
лежит в этой плоскости.
3.18. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось и точку
.
3.19. Показать, что прямые и
перпендикулярны.
3.20. При каком значении прямая
пересекает ось
?
3.21 При каком значении прямые и
параллельны?
3.22. Найти точку пересечения прямой и плоскости
.
3.23. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости
.
3.24. Составить общее уравнение прямой, образованной пересечением плоскости с плоскостью, проходящей через ось
и точку
.
3.25. При каких значениях и
прямая
лежит в плоскости
?
3.26. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам
и
.
3.27. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси
.
3.28. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно к прямой
.
3.29. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно к прямым
и
.
3.30. Найти точку, симметричную точке относительно прямой
.
4. Составить канонические уравнения:
а) эллипса;
б) гиперболы;
В) параболы.
,
- точки, лежащие на кривой,
- фокус,
- большая (действительная) полуось,
- малая (мнимая) полуось, - эксцентриситет,
- уравнения асимптот гиперболы,
- директриса кривой,
- фокусное расстояние.
Варианты:
4.1. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.2. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.3. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.4. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.5. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.6 а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.7. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.8. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.9. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.10. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.11. а) ,
;
б)
;
в)
4.12. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.13. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.14. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.15. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.16. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.17. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.18. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.19. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.20. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.21. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.22. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.23. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.24. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.25. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.26. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.27. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.28. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.29. а) ,
;
б) ,
;
в) .
4.30. а) ,
;
б) ,
;
в) .
Записать уравнение окружности, проходящей через указанные точки и имеющей центр в точке .
Варианты:
5.1. Вершины гиперболы ,
.
5.2. Вершины гиперболы ,
.
5.3. Фокусы гиперболы ,
.
5.4. ,
- вершина параболы
.
5.5. Фокусы эллипса ,
.
5.6. Левый фокус гиперболы ,
.
5.7. Фокусы эллипса ,
- его верхняя вершина.
5.8. Вершину гиперболы ,
.
5.9. Фокусы гиперболы ,
.
5.10. ,
- вершина параболы
.
5.11. Правый фокус эллипса ,
.
5.12. Левый фокус гиперболы ,
.
5.13. Фокусы эллипса ,
- его нижняя вершина.
5.14. Вершину гиперболы ,
.
5.15. Фокусы гиперболы ,
.
5.16. ,
- вершина параболы
.
5.17. Левый фокус эллипса ,
.
5.18. Левую вершину гиперболы ,
.
5.19. Фокусы эллипса ,
- его верхняя вершина.
5.20. Правую вершину гиперболы ,
.
5.21. Левый фокус гиперболы ,
.
5.22. ,
- вершина параболы
.
5.23. Правый фокус эллипса ,
.
5.24. Правую вершину гиперболы ,
.
5.25. Фокусы эллипса ,
- его нижняя вершина.
5.26. Правую вершину гиперболы ,
.
5.27. Фокусы гиперболы ,
.
5.28. ,
- вершина параболы
.
5.29. Левый фокус эллипса ,
.
5.30. Правый фокус гиперболы ,
.