Свойства математического ожидания.

Повторение испытаний

Формула Бернулли и теорема Лапласа

Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n-k раз. Искомую вероятность обозначим Р_n(k). Например, символ Р₅ (3) означает вероятность того, что в пяти испытаниях событие появится ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2 раза.

Поставленную задачу можно решить с помощью так называемой формулы Бернулли:

Р_n(k) = С p^k q^n-k

Р_n(k) = p^k q^n-k (1)

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Правую часть равенства (1) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

(p+q)ⁿ = С pⁿ + С p^n-1q +…+ С p^kq^n-k +…+ С ⁿ

Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,75.

Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение. Вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки постоянна и равна q=1-p=1-0,75= 0,25.

Р₆ (4) = С p⁴ q² = (0,75)⁴ ∙(0,25)² = 0,30.

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Тогда прибегают к локальной теореме Лапласа :

Р_n(k) ≈ ∙ φ (x),

где х = (k - np)/ .

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическое ожидание приближенно равно значению случайной величины. Для решения многих задач достаточно знать математическое ожидание.

Дискретной называют случайную величину, значения которой изменяются не плавно, а скачками, т.е. могут принимать только некоторые заранее определённые значения. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счётным множеством)
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

М (Х) = х₁р₁₊ х₂р₂+….+ х_np_n

Если дискретная случайная величина Х принимает счетное множество возможных значений, то

М (Х) = x_i p_i

Свойства математического ожидания.

1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине:
М(С) = С
2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М(СХ) = С·М(Х)
3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
М(Х₁ + Х₂ + …+ Х_n) = М(Х₁) + М(Х₂) + ... + М(Х_n)
4) Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:
М(Х₁ · Х₂ · ... · Х_n) = М(Х₁) · М(Х₂) · ... · М(Х_n)

12
• Далее ⇒