Дәріс сабағы. Бір айнымалы функциялардың дифференциалдық есептеулері. Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар
Функцияның туындысы. Анықтама. Функция өсімшесі 
-тің аргумент өсімшесі 
-ке катынасының нөлге ұмтылғандағы шегі бар болса, онда оны 
функциясының х0 нүктедегі туындысы деп атайды, яғни 
.
Функцияның қандайда бір аралықтың кез келген нүктесінде туындысы болса, онда оны осы аралықта дифференциалданады дейді. 
функциясының 
нүктедегі туындысы мынандай символдармен белгіленеді: 
.
Егер аргумент х-ке әртүрлі мәндер берсек, онда 
-те әртүрлі мәндер қабылдайды, сондықтан функция туындысын х-тің функциясы деп карастыруға болады.
Туындының геометриялық мағынасы: функциясының х0 нүктедегі туындысы функцияның графигіне 
нүктеде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициентіне тең, яғни 
, 
, 
. функциясының графигіне оның 
нүктесінде жүргізілген жанаманың теңдеуі: 
, ал оған осы нүктеде перпендикуляр болатын түзу (нормаль) теңдеуі: 
болады.
Туындының физикалык мағынасы: функциясының х0 нүктедегі туындысы осы нүктедегі функцияның х аргументіне қатысты өзгеру жылдамдығын анықтайды.
Теорема (функция туындысының бар болуының кажетті шарты). Егер функциясы х=х0 нүктеде дифференциалданатын болса, онда ол осы нүктеде үзіліссіз.
Мысалы, 
функциясы 
нүктеде үзіліссіз болғанмен де оның осы нүктеде туындысы жоқ. Өйткені, 
, 
. Яғни нүктеде оң және сол жақты шектер тең емес.
Туындының анықтамасын пайдаланып элементар функциялардың туындылар кестесі жасалған:
1.  , 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
| 10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
|
Теорема.Егер 
, 
функциялары 
сегментінде дифференциалданса және С-тұрақты шама болса, онда төмендегідей негізгі дифференциалдау ережелері орындалады:
1.Тұрақты шаманың туындысы 0-ге тең: 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Күрделі функцияның туындысы. Анықтама. Егер 
, ал 
, яғни 
-тің мәндерінің жиыны 
функциясының анықталу облысының ішкі жиыны болса, онда 
айнымалы х бойынша күрделі функция болып саналады. Мұндағы 
аралық аргумент деп аталады. 
және 
функцияларының суперпозициясы немесе функцияның функциясы деп аталады.
-күрделі функцияның туындысы сол функцияның аралық аргумент бойынша алынған туындысын аралық аргументтің туындысына көбейткенге тең болады, яғни
немесе 
Егер күрделі функция 
екі және 
аралық аргументтері бойынша жасалса: , 
, 
, яғни 
, онда оның туындысы: 
.
Мысал. 
, 
?
Шешуі: 
Айқындалмаған функцияның туындысы. 
теңдеулерімен берілген, яғни х аргументі мен у функциясының арасындағы байланыс у-ке қатысты шешіле бермейтін түрде берілген функцияны айқындалмаған функция деп атайды. Оның туындысын табу үшін у-ті х-тің функциясы деп қарастырып, теңдеуден х бойынша туынды аламыз да , шыққан теңдеуден 
-ты табамыз.
Параметрлік түрде берілген функцияның туындысы.х аргументі мен у функциясының арасындағы байланыс 
-параметріне қатысты теңдеулермен берілсе: 
, 
, онда функция параметрлік түрде берілген функция деп аталады. Бұл теңдеуді х0у жазықтығында қозғалып бара жатқан нүкте координаталарының уақытына тәуелділігі деп қарастыруға болады, яғни функциясының графигі қозғалмалы нүктенің траекториясын көрсетеді.
, 
функцияларының параметрі бойынша туындылары бар және 
болсын. Сонда, бірінші туындысы: 
, ал екінші туындысы: 
формулаларымен табылады.
Мысал. 
, 
. 
, 
=?
Шешуі. 
, 
. 
.
Кері функцияның туындысы.Егер сегментінде үзіліссіз, бірсарынды және нөлге тең емес туындысы бар функция болса, онда оның 
сегментінде 
керіфункциясы үзіліссіз, бірсарынды және туындысы: 
немесе 
бар болады. Сонымен, кері функцияның туындысы тура функция туындысының кері шамасына тең болады.
Мысал. 
, , 
=? Шешуі: 
, 
,
, 
. 
Логарифмдік дифференциалдау әдісі. 
түріндегі функцияны дәрежелі-көрсеткіштік функция дейміз. Мысалы, 
, 
, 
және т.б. Мұндай түрдегі функцияның туындысын табу үшін логарифмдік дифференциалдау әдісін қолданамыз. Ол үшін және 
функцияларының х нүктесінде туындысы бар және функциясы х-тің белгілі бір маңайында оң деп ұйғарамыз. Сосын, теңдіктің екі жағын да логарифмдеп, логарифм қасиеттерін пайдалансақ: 
болады. Бұл теңдіктен күрделі функцияның туындысын табу ережесін колданып туынды табамыз: 
. Осы теңдеуден у'-тітапсақ, мынадай теңдікті аламыз:
. Сонымен, 
Немесе, негізгі логарифмдік теңбе-теңдікті: 
пайдаланып, дәрежелі-көрсеткіштік функцияны мынадай күрделі көрсеткіштік фукцияға келтіреміз де: 
, осы күрделі функциядан туынды табамыз.
1-мысал. 
функциясының туындысын табу керек.
Шешуі: 1-тәсіл: 
, 
.
Яғни, 
2-тәсіл. 
Сонымен қатар, логарифмдік дифференциалдау әдісі функцияның туындысын табуды жеңілдету үшін де қолданылады.
Функцияның дифференциалы. функциясының х нүктесінде туындысы бар болсын, яғни 
. Бұдан, 
, мұндағы 
жоғарғы ретті шексіз аз функция, сондықтан 
функция өсімшесінің басты бөлігі деп аталады.
Анықтама. функциясының х нүктесіндегі дифференциалы деп функция өсімшесінің басты бөлігін айтады және оны 
немесе 
деп белгілейді: 
, 
. Ендеше, 
, бұдан 
.
Теорема. функциясының х нүктесінде дифференциалы болу үшін оның туындысының бар болуы қажетті және жеткілікті.
Дифференциалдың геометриялық мағынасы: функциясының х нүктесінде дифференциалы функция графигіне сол нүктеде жүргізілген жанама ординатасының өсімшесіне тең болады. 
, сондықтан 
немесе 
. Бұл теңдік функцияның жуық мәндерін табу үшін қолданылады.
Дифференциал табу ережелері туынды табу ережелерінен шығады:
1. 
, 2. 
, егер х-тәуелсіз айнымалы болса;
3. 
; 4. 
;
5. 
; 6. 
, 
7. 
. Бұл ереже дифференциал түрінің инварианттылығы деп аталады.
Мысал. 
функциясының дифференциалын табыңыз.
Шешуі: 