Производная и её приложение
141-150. Найти производные 
данных функций.
141. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
.
142. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
143. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
144. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
.
145. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
146. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
.
147. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
.
148. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
.
149. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
150. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
.
151-160. Найти и 
.
151. а) 
; б) 
.
152. а) 
; б) 
.
153. а) 
; б) 
.
154. а) 
; б) 
.
155. а) 
; б) 
.
156. а) 
; б) 
.
157. а) 
; б) 
.
158. а) 
; б) 
.
159. а) 
; б) 
.
160. а) 
; б) 
.
Приложения дифференциального исчисления
191-200. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.
191. 
. 192. 
.
193. 
. 194. 
.
195. 
. 196. 
.
197. 
. 198. 
.
199. 
. 200. 
.
Неопределённый и определённый интегралы
281-290. Найти неопределенные интегралы. В двух примерах (пункты а и б) проверить результаты дифференцированием.
281. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
282. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
283. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
284. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
285. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
286. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
287. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
288. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
289. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
290. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
301-310. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
301. 
. 302. 
. 303. 
. 304. 
. 305. 
. 306. 
.
307. 
. 308. 
. 309. 
. 310. 
.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание 11 – 20
Для решения задач 11 – 20 рекомендуется учебное пособие
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.
Ч.1. М.: Оникс 21 век. 2005. Гл. I –IV, стр.39 – 91.
Рассмотрим решение аналогичной задачи, взяв координаты вершины пирамиды SABC: А(-3;0;0); В(0;2;0); С(0;0;6); S(-3;4;5).
1) Длину ребра АВ находим по формуле:
2) Угол между рёбрами 
найдём по формуле косинуса угла между векторами 
, координаты которых определяются так:
α
φ
Для решения задания 3) целесообразно решить задачу 7). Уравнение плоскости 
составим по уравнению
Нормальный вектор этой плоскости
4) Площадь 
определяем с помощью векторного произведения:
5) Объём пирамиды 
находится через вычисление смешанного произведения векторов 
Изучите понятие смешанного произведения, формулу объёма пирамиды и формулу для вычисления смешанного произведения трёх векторов. Решите самостоятельно.
6) Уравнение прямой 
Канонические уравнения прямой, вектор 
направляющий вектор прямой 
8) Для определения проекции вершины 
на плоскость выполняются следующие действия:
а) составляется уравнение высоты пирамиды 
.
б) находится точка пересечения высоты и основания решением системы, содержащей уравнение высоты и уравнение плоскости.
Решение: вектор 
удобнее взять 
Он будет направляющим для 
По уравнению 
вершина , т.е. 
.
Система 
решается подстановкой
Подставив во второе уравнение, найдём значение 
, а следовательно значения
Точка 
- проекция точки на плоскость 
9) Длину высоты пирамиды можно найти по формуле 
или по формуле расстояния от точки до плоскости – наиболее удобно.
Изучите формулы самостоятельно, решив задание 9).
Задание 51 – 60
Дана система линейных уравнений
Решить систему а) матричным методом, б) методом Крамера, в) методом Гаусса.
а) данной системе соответствует матричное уравнение 
, которое решается по формуле: 
. Матрицы имеют вид:
Находим обратную матрицу
Находим матрицу 
б) 
- формулы Крамера. Вычислим все определители 
в) Метод Гаусса.
Составим расширенную матрицу 
и преобразуем её с помощью элементарных преобразований.
Из полученной матрицы, выделяя последнюю строку, видим, что исключены неизвестные 
и 
. Найдём 
. 
.
Вторая строка соответствует уравнению:
или 
Аналогично из первой строки напишем уравнение:
Итак: 
Задание 91 – 100.
Дано комплексное число 
Записать число 
в геометрической и тригонометрической формах и найти все корни уравнения 
Рекомендуемая литература: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. II, гл.III, §7, стр.97 – 101.
Найдём алгебраическую форму комплексного числа
Тригонометрическая форма комплексного числа 
определится по формуле 
.
Изобразив число на плоскости, найдём 
и 
.
-1 
Итак, число 
Найдём корни уравнения 
вычислим по формуле Муавра
Задание 111 – 120
Вычислить пределы:
а) 
За скобку выносили наивысшую степень 
для числителя и знаменателя.
б) 
Для исключения неопределённости 
требуется числитель и знаменатель разложить на множители.
в) 
В данном случае для исключения неопределённости использованы эквивалентные бесконечно малые, например 
г) Числитель и знаменатель умножаем на выражение, сопряжённое числителю
Задание 141– 150
Найти производные 
следующих функций:
а) 
б) 
;
в) 
г) 
;
д) 
.
б) 
в) 
г) 
Прологарифмируем обе части равенства
Продифференцируем обе части равенства
д) 
Функция 
задана неявно. Учитываем, что 
аргумент, 
функция.
Задание 151 – 160
Найти 
функций:
Решение:
а) 
б) 
Задание 191 – 200
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить её график.
Рассмотрим свойства функции:
1. Область определения: 
2. Чётностьь, нечётность функции: 
Функция общего вида.
3. Асимптоты.
а) Так как 
, то прямая 
является вертикальной асимптотой:
б) 
– наклонная асимптота.
Найдём 
Найдём 
– уравнение наклонной асимптоты.
4. Найдём точки экстремума и интервалы монотонности функции:
Так как 
то действительных корней нет, значит, нет точек экстремума.
Производная 
на всей области определения, значит функция
убывает.
5. Точки пересечения с координатными осями
а) с осью 
при 
,
б) с осью 
при 
.
Используя исследование функции, строим график (схематично).
Задания 141-150, 151-160, 191-200 легко выполнить, используя учебное пособие П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах ч.I гл. VII §§ 1-2 стр. 151-183.
Задание 281 – 290
Найти неопределённые интегралы, выполнив проверку дифференцированием в первых двух примерах.
Решение:
Проверка:
Метод интегрирования по частям для функции 
Формула: 
Проверка:
Найдём коэффициенты
.
Литература
Основная литература
1.Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа [Электронный ресурс]: учебник для вузов. Ч.1/ Г.М. Фихтенгольц. – 10-е изд., стер. – Электрон. текстовые дан. – Санкт-Петербург; Москва; Краснодар: Лань, 2015. – 440 с.
2. Справочник по математике для бакалавров [Электронный ресурс]: учебное пособие для вузов / [А. Ю. Вдовин и др.]. – Электрон. текстовые дан. – Санкт-Петербург; Москва; Краснодар: Лань, 2014. – 79 с.
3. Высшая математика для экономических специальностей [Текст]: учебник и практикум для вузов/ Н.Ш. Кремер и др.; под ред. Н.Ш. Кремера. – 3-е изд., перераб. и доп. Москва: Юрайт, 2011. – 909 с.
4. Туганбаев А.А. Задачи и упражнения по высшей математике для гуманитариев [Электронный ресурс] : учебное пособие для вузов / А. А. Туганбаев. – 4-е изд., испр. и доп. – Электрон. текстовые дан. – Москва: Флинта, 2011. – 399 с.
Дополнительная литература:
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления [Текст] / Н.С. Пискунов. В 2-х т. – М.: Интеграл-Пресс, 2005.
6. Шолохович Ф.А., Васин В.В. Основы высшей математики. [Текст] /
Ф.А. Шолохович, В.В. Васин. – Екатеринбург, Изд-во УрГУ, 2004.
7. Шипачев В.С. Основы высшей математики. [Текст] / В.С. Шипачев. – М.: Высшая школа, 2004.
8. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т..Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. [Текст] / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. В 2 ч. – М.: Высшая школа, 2007.
9. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. [Текст] / Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. – М.: ООО "Изд. Астрель", 2001
ЗАДАНИЯ и методические указания к выполнению