Основные элементарные функции и их графики.
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Л е к ц и я 7
ФУНКЦИИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ.
ПЛАН
Числовые функции. График функции. Способы задания функций.
Основные характеристики функции.
Обратная функция.
Сложная функция.
Основные элементарные функции и их графики.
1.Пусть даны 2 непустых множества 
и 
.
 |
Определение. Если 
ставится в соответствие по правилу 
единственный элемент 
, то говорят, что на множестве задана функция 
и пишут: 
.
называется областью определения функции; - областью (множеством) значений.
Функции обозначаются латинскими буквами: 
, 
, 
, 
, 
, 
Пусть задана функция 
.
Если элементами множеств 
и 
являются действительные числа (т. е. 
и 
), то функцию 
называют числовой функцией. В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции, для краткости будем именовать их просто функциями и записывать 
.
Переменная 
называется при этом аргументом или независимой переменной, а 
— функциейили зависимой переменной (от ). Относительно самих величин и говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Иногда функциональную зависимость от пишут в виде 
, не вводя новой буквы ( ) для обозначения зависимости.
Частное значение функции 
при 
записывают так: 
. Например, если 
, то 
, 
.
Графиком функции называется множество всех точек плоскости 
, для каждой из которых является значением аргумента, а — соответствующим значением функции.
Например, графиком функции 
является верхняя полуокружность радиуса 
с центром в 
( рис. 1).
Чтобы задать функцию , необходимо указать правило, позволяющее, зная , находить соответствующее значение .
Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.
Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.
Например:
1)  ;
| 2) 
| при  ,
при  ,
|
3)  .
|
Если область определения функции не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью определения функции является отрезок 
.
Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию .
Графический способ: задается график функции.
Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.
На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.