Определение определённого интеграла
Экстремумы функции двух переменных.
Определение. - точка минимума (максимума функции z = f (x, y), если
такая, что для
при
.
Рисунок . Необходимое условиесуществования экстремума
функции z = f (x, y) в точке :
или в точке
частные производные (возможно, одна из них) не существуют.
Доказательство. Пусть - точка экстремума. Рассмотрим функцию
от одной переменной х. При
эта функция имеет экстремум, поэтому по Т.Ферма её производная при
равна 0 или не существует.
Поэтому или не существует.
Теперь рассмотрим функцию от одной переменной y. При
она имеет экстремум, поэтому её производная
или не существует.
Пример. Найдём точки, в которых функция может иметь экстремумы.
Получим систему уравнений
Решение этой системы определяет точку
, в которой может существовать экстремум исследуемой функции.
Неопределённый интеграл
Задача. Дана функция f ( x ). Найти функцию F ( x ) : .
Определение.ФункцияF ( x ) называется первообразной от функции f ( x) на (a, b),если
Пример. f ( x ) = 2х.
Теорема.Пусть - первообразные от f ( x ) на (a, b). Тогда на (a, b)
Доказательство (нестрогое). Рассмотрим функцию . Hа (a, b).
Поэтому ( х ) не возрастает и не убывает на (a, b) =>
.
Следствие. Если F ( x ) - одна из первообразных от f (x) , то любая первообразная от f (x) имеет вид F ( x ) + С, где .
Определение.Множество всех первообразных от функции f (x) называется неопределённым интегралом от функции f (x): если
то
= F ( x ) + С,
Как находить неопределённый интеграл?
I. Таблица неопределённых интегралов.
II. Свойства неопределённого интеграла.
1.
2.
3.
4.
5.
III. Общие методы интегрирования
1. Подведение под знак дифференциала
Примеры.
,
2. Замена переменной интегрирования (метод подстановки)
Примеры.
t=x+7 x=t-7 dx = dt
3. Интегрирование по частям
Пусть u (x), v(x) - дифференцируемые функции. Тогда
Доказательство.
=>
(= uv)
Пример.
Определённый интеграл
Задача определения площади S криволинейной трапеции.
Пусть f (x) непрерывна на [a, b], f (x) > 0 для Как определить S? Исходное понятие – площадь прямоугольника.
Рисунок 1.
Приблизим криволинейную трапецию ступенчатой фигурой из прямоугольников.
Для этого разобьём [a, b] на n отрезков точками
Для каждого обозначим его длину
.
В каждом отрезке возьмём произвольную точку
Тогда
- площадь прямоугольника с основанием
.
Площадь S( n ) ступенчатой фигуры, которая приближает криволинейную трапецию, равна
С возрастанием n при , ступенчатая фигура всë лучше (точнее) приближает криволинейную трапецию, поэтому
Аналогия из школьной математики: по определению площадь круга –это предел последовательности площадей вписанных в него правильных многоугольников при бесконечном удвоении числа его сторон.
Определение определённого интеграла
Пусть функция f (x) непрерывна на
-разбиение отрезка [a, b] на n отрезков
длины
- диаметр разбиения
,
- интегральная сумма разбиения
.
Для непрерывной функции f (x) существует предел последовательности интегральных сумм при n и
число, не функция !