Измерений (косвенные измерения)

 

2.4.1 Условие задания

При многократных измерениях независимых вели­чин X и У получено по 12 (n) результатов измерений. Эти результа­ты после внесения поправок представлены в таблице 2. Определить ре­зультат вычисления Z = f (X,У), (вид функции Z и характер величин X, У, Z представлены в таблице 3).

Указания по выполнению

1. Значения X и У студент выбирает, соответственно, по пред­последней и последней цифрам шифра: например, шифру 96836 соот­ветствуют значения X, представленные в строке 3 и значения У, представленные в столбце 6 таблицы 2.

2. Вид функции Z студент выбирает по последней цифре шифра, например, шифру 96836 соответствует функция Z, представленная в строке 6 таблицы 3.

3. При определении Z следует предварительно выразить значе­ния величин X и У в единицах системы СИ.

Порядок расчетa

Обработку экспериментальных данных при функциональном преоб­разовании результатов измерений целесообразно осуществлять по ал­горитму [1, с. 144 – 166]. При этом необходимо учитывать, что n = 12, следовательно, порядок расчетов и их со­держание определяются условием 10...15 < n < 40...50.

1. Обработать результаты измерений величин X и У отдельно по алгоритму, изложенному в п. п. 1-3 задания 2, при этом:

– определить оценки результатов измерений X, У и средних квадратических отклонений Sx, Sy;

– обнаружить и исключить ошибки;

– проверить гипотезу о нормальности распределения оставшихся ре­зультатов измерений.

2. Определить оценку среднего значения функции:

 

.

 

3. Определить поправку:

 

.

 

Таблица 3 – Исходные данные

Последняя цифра шифра Z=f (X,Y) Характер и единицы величин
X Y Z
Z=X/Y напряжение, мВ сила тока, мкА сопротивление
Z=X2Y сила тока, мкА сопротивление, Ом мощность
Z=2X/Y2 перемещение, м время, мс ускорение
Z=2m/X∙Y индуктивность, мкГн емкость, мкФ период колебаний
Z=3X/4p∙Y3 масса, мкг радиус сферы, мкм плотность материала
Z=X∙Y2/2 индуктивность, мкГн сила тока, мА энергия магнитного поля
Z=0,5X2/Y заряд, пКл емкость, пФ энергия конденсатора
Z=X∙Y/(X+Y) сопротивление, Ом сопротивление, Ом сопротивление
Z=X/(Y+10) ЭДС, мВ сопротивление, Ом сила тока
масса, г жесткость, Н/м период колебаний

 

4. Определить оценку стандартного отклонения функции

 

,

 

где nx, ny – числа оставшихся результатов измерений, соответствен­но, X и Упосле исключения ошибок.

5. Определить доверительный интервал для функции

 

ЕZ = t×S.

 

Если законы распределения вероятности результатов измерения X и У признаны нормальными, то t можно определить для принятой доверительной вероятности Р из таблиц для распределения Стьюдента (таблица 1.1.2.8 [2] или таблица Д.1). При этом число степеней свободы m определятся из выражения

 

.

 

Если гипотеза о нормальности распределения результатов изме­рения X или (и) У отвергается, то t целесообразно определить из неравенства Чебышева:

 

.

 

Задание 5. Обработка экспериментальных данных при

Изучении зависимостей

 

2.5.1 Условие задания

При многократных совместных измерениях величин X и Y получено по 20 (n) пар результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 4. Определить уравнение регрессии Y по X: Y = f (X).

Указания по выполнению

1. Серии экспериментальных данных студент выбирает из таблице 4 по предпоследней и последней цифрам шифра. Например, шифру 96836 соответствуют серии, включающие все результаты измерений X (числитель) и У (знаменатель), которые представлены в строке 3 и столбце 6.

2. Считать, что результаты измерений не содержат ошибок.

2.5.3 Порядок расчета

Обработку экспериментальных данных при изучении зависимостей целесообразно осуществлять по алгоритмам [4, с. 99-109].

1. В осях координат X и Y построить n экспериментальных то­чек с координатами Xi ,Yi, i Î (1…20) и по характеру расположе­ния точек принять гипотезу о виде уравнения регрессии Y на X.

 

Таблица 4 – Исходные данные

Предпоследняя цифра шифра Последняя цифра шифра

В качестве уравнения регрессии целесообразно использовать полином степени m:

 

Y = А + В∙Х + С∙Х2 + ... + К∙Хm.

 

В первом приближении для решения данной задачи рекомендуется принять m = 1, т.е.

 

Y = А + В∙Х.

 

2 Определить параметры уравнения регрессии по методу наи­меньших квадратов. Для этого необходимо:

– составить систему уравнений по числу рассчитываемых параметров:

 

; ; ; … ; ,

где .

Например, для линейного уравнения регрессии система уравнений имеет вид:

 

 

– решить систему уравнений и определить неизвестные параметры, например, для линейного уравнения регрессии решение имеет вид:

 

.

 

3. Проверить правильность выбора вида уравнения регрессии. Для этого следует применить непараметрические критерии серий и инверсий:

– рассчитать отклонения экспериментальных значений Yi от соответс­твующих значений Ypi, рассчитанных для того же аргумента Xi по по­лученному уравнению регрессии:

 

DYi = Yi – Ypi ;

 

– построить в осях координат X, DY полученные значения DYi для со­ответствующих Xi;

– записать последовательность значений DYj по мере возрастания Xj, Xj Î [l,n];

– рассчитать число серий N в полученной последовательности DYj (под серией в данном случае понимают последовательность отклоне­ний одного знака, перед и после которой следуют отклонения про­тивоположного знака или нет вообще никаких отклонений);

– задавшись доверительной вероятностью Р ( уровнем значимости a = 1 – Р) для n = 20 определить по соответствующей таблице (таблица А.6 [4] или таблица Ж.1) допустимые границы N1-0,5a и N0,5a;

– рассчитать число инверсий А в полученной последовательности DYj (под инверсией понимается событие, заключающееся в том, что DYj > DYjk при k > j):

 

,

 

где Aj – это число инверсий j - гo члена последовательности, т.е. число членов последовательности, которые, будучи расположенными в последовательности после j - ого члена, имеют значение меньшее, чем DYj;

– задавшись доверительной вероятностью Р ( уровнем значимости a = 1 – Р) для n = 20 определить по соответствующей таблице (таблица А.7 [4] или таблица И.1) допустимые границы A1-0,5a и A0,5a;

– сравнить А с A1-0,5a и A0,5a;

Если выполняются неравенства

 

N1-0,5a < N £ N0,5a;

A1-0,5a < A £ A0,5a,

 

то с выбранной доверительной вероятностью Р можно считать, что отклонения экспериментальных значений Yi, от соответствующих зна­чений Yрi найденного уравнения регрессии являются случайными, не содержат аддитивного, мультипликативного или колебательного трендов, т.е. рассчитанное уравнение регрессии достоверно описывает экспериментально исследуемую зависимость между величинами X и Y.

Если хотя бы одно из указанных выше неравенств, не выполня­ется, то следует пересмотреть выбор вида уравнения регрессии. В частности, можно увеличить степень полинома m на единицу и повто­рить вычисления по описанному выше алгоритму. Например, для полинома второй степе­ни:

 

Y = А + В∙Х + С∙Х2.

 

Сцелью определения параметров уравнения регрессиив данном слу­чае необходимо решить систему уравнений: