Базис и размерность линейного пространства. Признак линейной зависимости и независимости векторов в координатной форме.
Линейное пространство. Разложение вектора по базису.
Рассмотрим непустое множество элементов
,
,
, … и
— множество всех вещественных чисел. Линейным векторным пространством называется множество
, в котором определены две линейные операции:
1. Сложение элементов множества, т.е. если ,
, то
.
2. Умножение элементов множества на произвольные числа
, т.е. если
,
, то
, причем эти операции удовлетворяют следующим аксиомам:
1. (коммутативность);
2. (ассоциативность);
3. Существует элемент , такой, что
;
4. Для существует противоположный вектор
, такой, что
;
5.
;
6. Для выполняется равенство
,
;
7. Для и
справедливо равенство
;
8. Для и
.
Линейная зависимость и независимость векторов
Если ,
, …,
— векторы пространства
, а
,
, …,
— произвольные числа из
, то выражение
называется линейной комбинацией векторов
,
, …,
, а числа
,
, …,
— коэффициентами этой комбинации.
Линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю ( ).
Система векторов называется линейно зависимой, если существует равная нулю нетривиальная комбинация этих векторов (не все ). В противоположном случае (т.е. в случае равенства нулю только тривиальной линейной комбинации) система называется линейно независимой.
Теорема. Для того, чтобы система векторов ,
, …,
была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных векторов. Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.
Базис и размерность линейного пространства. Признак линейной зависимости и независимости векторов в координатной форме.
Любая совокупность векторов линейного пространства называется базисом этого пространства, если выполняются следующие условия:
1. Все векторы данной совокупности линейно независимы;
2. Любой вектор пространства является линейной комбинацией векторов данного пространства.
Максимальное число линейно независимых векторов этого пространства называется размерностью векторного пространства (размерность пространства совпадает с числом его базисных векторов).
Базисные векторы принято обозначать ,
, …,
.
Тогда любой вектор этого пространства линейно выражается через базисные:
;
,
, …,
— координаты вектора в базисе
,
, …,
.
Пусть имеется система векторов ,
, …,
пространства
с выбранным базисом
,
, …,
, тогда
. (1)
Рассмотрим линейную комбинацию векторов (
)
(2)
С учетом координатного представления векторов, последнее равенство перепишется в виде:
,
.
Матрица этой системы
.
Координаты вектора расположены в
-ом столбце. Отсюда следует, что векторы
, …,
линейно зависимы тогда и только тогда, когда система (2) имеет ненулевое решение (то есть определитель матрицы этой системы в случае
должен быть равен нулю).
Иначе, для существования линейной зависимости между векторами необходимо и достаточно существование такой же зависимости между столбцами из координат этих векторов.
Векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда ранг матрицы
равен числу векторов этой системы.
Упражнения.
№ 1. Указать, какие из нижеперечисленных множеств образуют линейное векторное пространство (устно).
а) Совокупность векторов плоскости, концы которых лежат в первой четверти (предполагается, что векторы откладываются от начала координат)
/Нет, т.к. отсутствует противоположный элемент/
б) Совокупность векторов плоскости не параллельных некоторой оси.
/Нет, т.к. при сложении может получиться вектор, параллельный этой оси/
в) Множество квадратных матриц -го порядка. /Да/.
г) Множество невырожденных квадратных матриц. /Нет/
д) Множество всех вещественных функций, непрерывных на . (Пространство
). /Да/
№ 2. Что означает условие линейной зависимости векторов некоторой плоскости?
коллинеарность векторов, в координатной форме
.
№ 3. Что означает условие линейной зависимости в трехмерном пространстве?
, т.е. векторы лежат в одной плоскости (компланарность) в координатной форме
.
№ 4. Будут ли линейно зависимы следующие системы векторов обычного трехмерного пространства
а) и
. Да.
б) и
. Нет.
и равен числу векторов и
.
в) ,
,
. Нет.
№ 5. Пусть — пространство квадратных матриц второго порядка. Показать, что векторы
,
,
,
линейно независимы и образуют базис данного пространства.
Решение.
Покажем, что только при
.
.
Матрица будет нулевой, когда все ее элементы равны 0, т.е. векторы линейно независимы и любая матрица вида есть линейная комбинация
,
,
,
.
Устно. Какова размерность данного пространства? ( )
Какова размерность пространства квадратных матриц третьего порядка? ( ).
№ 6. Показать, что векторы ,
,
образуют базис трехмерного пространства. Найти координаты вектора
в этом базисе
,
,
,
.
Решение.
1) Покажем, что ,
,
линейно независимы. В данном случае
имеет вид
оно равносильно системе
.
Если , то система имеет только нулевое решение.
.
и равен числу векторов
они линейно независимы.
2) Требуется найти числа такие, что
или в координатной форме:
или
.
Решение найдем методом Гаусса
,
,
.
Ответ: , т.е. векторы в разных базисах имеют разные координаты.