Формирование рациональных смесей

В хозяйственной деятельности отделов снабжения предприятий возникают задачи, связанные с осуществлением рациональных закупок продуктов, обеспечивающих необходимый рацион питания для поддержания нормальной жизнедеятельности человека, или формирования диетического питания в больницах, или задачи составления кормовых смесей на животноводческих фермах.

Задачи о рациональном питании решаются в условиях ограниченного ассортимента, товарных запасов, стоимости, суточных норм потребления питательных веществ и их содержания в продуктах. Причем из всех возможных вариантов необходимо выбрать самый дешевый.

Построение экономико-математической модели.

Допустим имеется набор продуктов: мясо, рыба, молоко, сахар, яйца, картофель, овощи, фрукты, хлеб, мука по ценам соответственно , причем запасы этих продуктов ограничены: .

Содержание питательных веществ – белков, жиров, углеводов, витаминов и минеральных солей – в 1 кг каждого продукта известны и составляют соответственно . Известны также нормы суточной потребности человека в каждом питательном веществе: .

Необходимо определить количество закупаемых продуктов , которое удовлетворит потребность в питательных веществах каждого вида, и будет иметь минимальную стоимость. Поскольку содержание питательных веществ в рационе должно быть не менее , то получим систему линейных ограничений:

Кроме того, количество каждого продукта в рационе не должно быть величиной отрицательной, а размер закупок ограничен:

Общая стоимость запишется в виде линейной целевой функции

Пример.Для поддержания нормальной жизнедеятельности человеку ежедневно необходимо потреблять 118 г белков, 56 г жиров, 500 г углеводов, 8 г минеральных солей. Количество питательных веществ, содержащихся в 1 кг имеющихся в магазине продуктов питания, их стоимость приведены в таблице.

Питательные вещества Содержание питательных веществ в 1 кг продукции, Нормы суточной потребности, г
мясо рыба молоко масло сыр крупа картофель
Белки, г
Жиры, г
Углеводы, г
Минеральные соли, г
Стоимость 1 кг продукта, руб. 2,8 5,6  
Количество продукта в рационе, г -? -? -? -? -? -? -?  

Необходимо составить суточный рацион, содержащий не менее суточной потребности человека в необходимых питательных веществах, и обеспечивающий минимальную общую стоимость продуктов.

Экономико-математическую модель задачи можно сформулировать так.

Найти оптимальное количество закупаемых продуктов питания , связанных с суточной нормой потребления системой линейных неравенств:

обеспечивающих минимум затрат на покупку продуктов питания

.

 

Перевозка грузов

В современных условиях большие транспортные расходы связаны с простоями в ожидании обслуживания на погрузочно-разгрузочных работах, встречными и нерациональными перевозками, затратами на горючее, техническое обслуживание и заработную плату водителей. В связи с этим необходимо решать задачи оптимального планирования перевозок грузов в производственной деятельности из пунктов отправления (баз, станций, фабрик, элеваторов, заводов) в пункты назначения (магазины, склады) методами, позволяющими оптимизировать план по какому-либо экономическому показателю, например, финансовых затрат или времени на перевозку грузов.

Для решения подобного рода задач в линейном программировании существуют специально разработанные методы, а задачи такого рода называют транспортными задачами.

Построение экономико-математической модели.

Имеется т пунктов отправления (поставщиков) грузов:

,

на которых сосредоточены запасы некоторого однородного и делимого груза в объемах соответственно:

Величины определяют максимально возможные размеры вывоза груза с пунктов отправления. Суммарный запас груза поставщиков составляет . Кроме того, имеется п пунктов назначения:

которые подали заявки на поставку груза в объемах соответственно:

Суммарная величина заявок составляет .

Стоимость перевозки единицы груза от поставщика к потребителю известна. Она составляет (транспортный тариф), то есть известна матрица тарифов перевозок .

В качестве критерия оптимальности выбираем суммарные издержки по перевозке груза.

Экономико-математическая модель задачи зависит от соотношения суммарной величины заявок и суммарного запаса груза .

Если суммарные запасы груза в пунктах отправления равны сумме заявок пунктов назначения, т.е.

, (1.1.6)

то модель транспортной задачи называется закрытой.

В противном случае модель транспортной задачи называется открытой, причем возможны два варианта:

суммарный спрос больше

(1.1.7)

и меньше

(1.1.8)

суммарного предложения.

В каждом из трех перечисленных случаев экономические постановки и математические модели транспортной задачи различны.

Рассмотрим экономическую постановку и математическую модель закрытой транспортной задачи, т.е. случай, когда суммарный спрос равен суммарному предложению (1.1.6). Тогда транспортная задача формулируется следующим образом: необходимо составить оптимальный план перевозок, т.е. найти такие значения объема перевозок груза от поставщиков к потребителям , чтобы вывезти все грузы от поставщиков, удовлетворить заявки каждого потребителя и обеспечить минимальные транспортные расходы на перевозку груза.

Все исходные данные транспортной задачи можно записать в виде, так называемой транспортной таблицы:

… …
… …
… …
… …
… … … … … … … …
… …
… … … … … … … …
… …

Задача заключается в определении плана перевозок , который удовлетворяет следующим условиям:

и обеспечивает минимальное значение целевой функции

.

Теперь рассмотрим экономическую постановку и математическую модель открытой транспортной задачи для случая (1.1.7), когда суммарный спрос больше суммарного предложения.

Необходимо составить план перевозок товаров от поставщиков к потребителям, при котором все грузы от поставщиков вывозятся полностью; заявки потребителей, по возможности, удовлетворены, и суммарные транспортные расходы на перевозку груза являются минимальными.

В этом случае запись математической модели транспортной задачи будет отличаться от предыдущей записи заменой системы ограничений системой , которая отражает факт того, что заявки потребителей удовлетворяются не полностью.

И, наконец, рассмотрим экономическую постановку и математическую модель открытой транспортной задачи для случая (1.1.8), когда суммарный спрос меньше суммарного предложения.

Необходимо составить план перевозок товаров от поставщиков к потребителям, при котором заявки потребителей удовлетворяются полностью; от поставщиков товары, по необходимости, вывозятся, и суммарные транспортные расходы на перевозку товаров являются минимальными.

Очевидно, что запись математической модели транспортной задачи в этом случае будет отличаться от записи математической модели транспортной задачи закрытого типа заменой системы ограничений на систему , которая отражает тот факт, что от поставщиков товары вывозятся не полностью.