Связи вход-состояние и вход-выход
Рассмотрим многомерную линейную систему, описываемую уравнениями состояния и выхода:
, 
,
.
Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции: эффект, вызываемый суммой нескольких воздействий, равен сумме эффектов от каждого из воздействий в отдельности. Закон изменения вектора состояния линейной системы представляется в виде суммы свободного и вынужденного движений: 
. Аналогичное соотношение справедливо и для вектора выхода: 
в силу связи (1.37).
Свободное движение 
происходит при отсутствии внешнего воздействия 
вследствие ненулевых начальных условий (1.36). Оно определяется решением однородной системы уравнений, соответствующей исходному уравнению состояния (1.35):
(1.43)
с начальными условиями . Если начальные условия нулевые, свободное движение в системе отсутствует, т.е. 
.
Вынужденное движение 
— это реакция системы на внешнее воздействие 
при нулевых начальных условиях. Оно определяется решением неоднородного уравнения (1.35) при нулевых начальных условиях.
Для многомерных нестационарных систем, описываемых соотношениями (1.35) — (1.37), законы изменения векторов состояния и выхода определяются по формулам
, (1.44)
, (1.45)
где 
— переходная матрица, или матрица Коши, являющаяся решением уравнения
(1.46)
начальным условием
. (1.47)
Первые слагаемые в (1.44), (1.45) описывают свободное движение, а вторые вынужденное.
Формулы (1.43) — (1.46) следуют из общего алгоритма решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений [40], включающего три этапа.
Первый этап. Решается однородная система дифференциальных уравнений
,
соответствующая исходной неоднородной системе
.
Ее общее решение записывается в форме
,
где 
вектор произвольных постоянных, 
— фундаментальная матрица, 
линейно независимые решения однородной системы. Каждый столбец 
(фундаментальной матрицы удовлетворяет однородной системе, т.е. справедливы равенства 
, 
или 
.
Второй этап. Ищется общее решение неоднородной системы методом вариации произвольных постоянных:
,
где вектор-функция 
подлежит определению. Подставляя 
в неоднородную систему, получаем
.
С учетом имеем
или 
.
Обратная матрица 
существует, поскольку 
как определитель Вронского. Интегрируя последнее соотношение, находим
,
где 
— вектор произвольных постоянных. В результате искомое общее решение имеет вид
.
Третий этап. Ищется частное решение неоднородной системы, удовлетворяющее начальным условиям :
.
Отсюда 
и
.
Обозначая 
, получаем формулу (1.44). При 
получаем начальное условие (1.47). Умножая уравнение справа на матрицу 
, имеем 
, т.е. уравнение (1.46).
З а м е ч а н и е. Для многомерных стационарных систем, описываемых уравнениями
, (1.48)
, (1.49)
, (1.50)
законы изменения вектора состояния и вектора выхода находятся по формулам
, (1.51)
, (1.52)
где 
— переходная матрица стационарной системы, зависящая от разности 
. В данном случае решение уравнения (1.46) имеет вид
.
Анализ выходных процессов
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть известны:
а) входной сигнал (см. разд. 1.2.1);
б) система, описываемая уравнениями состояния и выхода
, ,
;
в) вектор начальных состояний 
(см. разд. 1.2.1).
Требуется найти законы изменения вектора состояния и вектора выхода 
.
З а м е ч а н и е. Если система образована соединениями подсистем, то она заменяется эквивалентной системой так, как показано в разд. 1.2.2.
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
1. Найти переходную матрицу (одним из трех способов, рассмотренных далее).
2. Используя соотношения (1.44), (1.45) или (1.51), (1.52) в зависимости от типа системы, определить законы изменения векторов состояния и выхода.
Рассмотрим различные способы нахождения переходной матрицы.
Первый способ. Если фундоменальная матрица 
, столбцы которой образуют фундаментальную систему решений однородной системы дифференциальных ураннений (1.43), известна, то переходная матрица находится по формуле
, (1.53)
З а м е ч а н и е. Общее решение однородной системы (1.43) можно записать в виде
, (1.54)
где 
— произвольные постоянные
Для стационарных систем следует выполнить действия:
1. Найти корни характеристического уравнения
, (1.55)
где 
— единичная матрица.
2. Выписать выражение общего решения (1.54) для каждой компоненты вектора х, следуя известным правилам в зависимости от типа корней (см. разд. 1.1.4). При этом произвольные постоянные в выражениях различны.
3. Полученные выражения подставить в однородную систему. Во многих случаях достаточно подставить в первые 
уравнений системы, что облегчает решение задачи.
4. Приравнять коэффициенты при одинаковых функциях аргумента t и решить полученную систему уравнений.
5. Выписать общее решение, зависящее от n произвольных постоянных в форме (1.54). В результате находится фундаментальная матрица, а по формуле (1.53) — переходная.
Пример 1.21. Найти переходную матрицу системы, описываемой дифференциальными уравнениями
,
.
□ Составим матрицу системы 
. Используем приведенный выше
алгоритм.
1. Корни характеристического уравнения 
, 
действительные разные: 
, 
.
2. Запишем выражения общего решения для каждой компоненты:
,
.
3. Подставим полученные соотношения в первое уравнение системы:
.
4. Приравняв коэффициенты при 
и 
, получим
, или 
,
, 
.
5. Из пп. 2, 4 имеем
.
Отсюда
, 
и по формуле (1.53)
.
Пример 1.22. Найти переходную матрицу системы, описываемой дифференциальными уравнениями
,
.
□ Составим матрицу системы 
. Используем приведенный выше алгоритм.
1. Корень характеристического уравнения 
, 
действительный кратный: 
, 
.
2. Выражения общего решения для каждой компоненты имеют вид
,
.
3. Подставим полученные соотношения в первое уравнение системы:
.
4. Приравняв коэффициенты при и 
, получим
,
.
5. Из пп. 2, 4 имеем
.
Отсюда находится фундаментальная матрица
, 
и по формуле (1.53)
.
В случае нестационарных систем для определения фундаментальной матрицы можно воспользоваться следующим приемом, позволяющим уменьшить порядок системы, если известно ее решение 
и 
при 
.
Тогда вектор-функции 
, 
, образующие вместе с функцией 
фундаментальную систему решений для (1.43), можно найти по формулам
,
…
, , (1.56)
,
где
,
а функции 
, являются линейно независимыми решениями системы 
порядка
, 
. (1.57)
Пример 1.23. Найти переходную матрицу системы, описываемой дифференциальными уравнениями
,
.
□ Для определения переходной матрицы нужно найти два линейно независимых решения заданной системы. Первое решение будем искать с помощью рядов, представляя функции 
, 
в виде
, 
.
Подставив эти функции в систему, предварительно умножив первое уравнение на 
, а второе — на 
, имеем
,
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 
, получаем
, 
,
.
Данной системе уравнений удовлетворяют коэффициенты:
, 
, 
, 
;
, 
, 
.
Таким образом, вектор-функция 
является решением системы.
Обозначим это решение 
. Так как 
при всех , можно понизить порядок системы. Согласно (1.56) второе решение 
ищется в виде
, 
,
где 
, а 
- решение системы (1.57), которая в данном случае состоит из одного уравнения 
:
.
Подставляя 
и 
, получаем уравнение
,
решение которого находится с помощью разделения переменных, т.е. 
. В результате 
. Тогда 
и, следовательно, 
, 
.
По найденным решениям 
и 
составляем фундаментальную матрицу
и 
.
По формуле (1.53) имеем
Второй способ. Применение теоремы разложения Сильвестра [60]. Переходная матрица стационарной системы определяется по формуле
, (1.58)
Где 
- собственные значения матрицы 
(здесь предполагается, что они различны), a 
- единичная матрица.
Пример 1.24. Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомерной системы:
, 
с начальными условиями 
, 
, при входном сигнале
1. Перепишем уравнения системы в матричной форме:
, 
.
2. Найдем переходную матрицу. Для этого определим собственные значения матрицы 
. Получим
, 
.
Отсюда 
, 
. По формуле (1.58) имеем
.
3. По формулам (1.51), (1.52) найдем законы изменения векторов состояния и выхода:
,
.
Пример 1.25. Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомерной системы:
с начальными условиями 
, 
при входном сигнале
, 
.
1. Перепишем уравнения системы в матричной форме:
, 
.
2. Найдем переходную матрицу. Для этого определим собственные значения матрицы . Получим
, 
.
Отсюда 
, 
. По формуле (1.58) имеем
,
так как 
, 
.
3. Mo формулам (1.51), (1.52) найдем законы изменения векторов состояния и выхода:
,
.
Третий способ. Использование теоремы Кели-Гамильтона [60].
Рассмотрим два случая ее применения.
1. В случае различных собственных значений матрицы 
:
(1.59)
где 
— число строк матрицы ; 
— 
— я степень матрицы 
; коэффициенты 
многочлена 
находятся из системы уравнений
, 
. (1.60)
2. В случае кратных собственных значений матрицы формула (1.59) также справедлива. Корню 
кратности 
в системе уравнений (1.60) соответствуют соотношения
, 
. (1.61)
Пример 1.26. Найти переходную матрицу системы, если матрица в уравнении состояния имеет вид 
(см. пример 1.24).
□ Собственные значения матрицы : 
, 
различны, 
. Поэтому составим систему уравнений (1.60):
.
Отсюда 
, 
. По формуле (1.59) имеем
.
Результат совпадает с полученным ранее.■
Пример 1.27. Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомерной системы:
с начальными условиями 
, 
при входном сигнале
□ Перепишем уравнения системы в матричной форме:
, 
,
где 
, 
, .
2. Найдем переходную матрицу. Для этого определим собственные шачения матрицы 
. Получим
, .
Отсюда 
(корень действительный кратный). По формуле (1.61) имеем
т.е. 
Отсюда 
, 
. По формуле (1.59) получаем
.
3. По формулам (1.51), (1.52) найдем законы изменения векторои состоя ния и выхода:
,
.