Критерии нильпотентности групп
Рассмотрим критерий нильпотентности групп и связь нильпотентной группы со своей подгруппой Фраттини.
Теорема 2.3 (Критерий нильпотентности). 
.
Доказательство.
1) Необходимость. Пусть , 
. Покажем, что 
.
Так как , то 
и 
, а значит 
, следовательно .
2) Достаточность. Пусть , . Покажем, что . Пусть 
. Покажем, что 
. Достаточно показать, что 
. Допустим, что 
тогда существует 
, такая, что 
а по лемме 1.2.5 следует, что 
. Таким образом, 
следовательно 
. Получено противоречие. Таким образом, , а значит, . Отсюда следует, что . Теорема доказана.
Определение 2.3. Нормальный ряд 
группы G называется центральным, если 
, 
.
Определение 2.4. Группа 
называется нильпотентной, если обладает центральным рядом.
Теорема 2.4. Конечная нильпотентная группа является разрешимой.
Доказательство.
Пусть 
имеет нормальный ряд , где , . Покажем, что 
– абелева группа.
Так как и 
, 
(6). Обозначим 
, а 
. С другой стороны, так как , то есть 
, то 
. Но по (6) 
, значит 
где 
рассматривается как элемент из 
. Значит, 
– абелева группа. По определению 1.1.22 
. Теорема доказана.
Теорема 2.5. (Фраттини). Подгруппа Фраттини конечной группы является нильпотентной.
Доказательство.
Пусть – конечная группа. Покажем, что 
. Пусть 
.
Покажем, что 
.
Так как 
, то по лемме 1.2.4 
, а по теореме 1.2.5 
. По теореме 1.2.6 
. По замечанию 1.2.2 
. Следовательно, 
, а значит 
, отсюда следует, что и . Теорема доказана.
Теорема 2.6. 1. 
.
2. 
.
Теорема 2.7. 1. Пусть 
. Если 
, то 
.
2. Если 
, то 
.
3. Если 
, то 
.
4. Если 
, то 
.
5. Если и , то 
.
6. Если 
– абелева группа.
7. 
.
Определение 2.5. Пусть – конечная группа. Наибольшая нормальная нильпотентная подгруппа группы называется подгруппой Фиттинга и обозначается 
.
Теорема 2.8. (Фиттинга). Пусть – конечная группа. Тогда произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы является подгруппой Фиттинга то есть в конечных группах подгруппы Фиттинга существуют.
Лемма 2.1. 1. – наибольшая нормальная нильпотентная подгруппа группы G.
2. 
.
3. 
Лемма 2.2. 1. 
; если разрешима и 
, то 
.
2. 
= 
.
3. Если 
, то 
; если, кроме того, 
абелева, то 
.
Теорема 2.9. 1. 
.
2. 
.
3. Если , то 
.
4. Если , то 
.
5. 
, где 
пробегает все главные факторы группы .
Теорема 2.10. Пусть 
. Если фактор-группа 
нильпотентна, то 
нильпотентна.
Теорема 2.11. Группа нильпотентна тогда и только тогда, когда ее коммутант содержится в подгруппе Фраттини.
Определение 2.6. Нильпотентной длиной разрешимой группы называют наименьшее 
, для которого 
, и обозначают 
.
Лемма 2.3. 1. Если – разрешимая группа, то длина любого нормального ряда группы с нильпотентными факторами не меньше, чем .
2. Нильпотентная длина разрешимой группы совпадает с длиной самого короткого нормального ряда с нильпотентными факторами.
Метанильпотентные группы
Определение 2.7. Если фактор-группа 
нильпотентна, то группу называют метанильпотентной.
Теорема 2.12. 1. В разрешимой группе подгруппа Фиттинга совпадает с пересечением максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга.
2. В разрешимой ненильпотентной группе пересечение максимальных подгрупп, содержащих подгруппу Фиттинга, метанильпотентно.
Доказательство.
Обозначим через 
пересечение всех максимальных подгрупп группы , не содержащих 
, а через 
пересечение максимальных подгрупп группы , содержащих . Ясно, что подгруппы и характеристические в группе и 
.
1. В фактор-группе 
подгруппа Фиттинга на основании леммы 2.2, поэтому 
. Предположим, что 
и 
– минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в 
. Так как подгруппа нормальна в группе и фактор-группа нильпотентна, то по теореме 2.7 подгруппа K нильпотентна и 
. Но теперь 
, то есть получили противоречие. Поэтому допущение неверно и 
, то есть 
.
2. Пусть – разрешимая нильпотентная группа. Ясно, что 
и 
. Поэтому метанильпотентна.
Заключение
В данном реферате были выполнены следующие задачи:
1. Рассмотрены определения нильпотентной группы, нильпотентной длины разрешимой группы, подгруппы Фиттинга, центрального ряда группы.
2. Изучены основные свойства нильпотентных групп. Рассмотрен критерий нильпотентности и связь нильпотентных групп с разрешимыми группами. Изучены свойства подгруппы Фитинга и свойство нильпотентности подгруппы Фраттини.
3. Исследована связь метанильпотентных групп с подгруппами Фиттинга конечных нильпотентых групп.
Список используемой литературы
1. Воробьев Н.Н. Алгебра классов конечных групп. Витебск: ВГУ имени П.М. Машерова, 2012.
2. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. - М.: Наука, 1982.
3. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. - М.: Физико-математическая литература, 2000.
4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра. - М.: Физико-математическая литература, 2000.
5. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 3. Основные структуры алгебры. - М.: Физико-математическая литература, 2000.
6. Курош А.Г. Теория групп. – М.: Физико-математическая литература, 2011.
7. Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов: учебное пособие. – Мн.: Вышэйшая школа, 2006.