Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления
Лекция №8 Продолжение
Цилиндрическая полость в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления
![]() |
Рис.8.2 Цилиндрическая полость в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления
Решение задачи можно получить, устремляя внешний радиус цилиндра к бесконечности ( ) и полагая, что на бесконечности (
) напряжения принимают предельное значение
, а на внутренней границе давление отсутствует. Граничные условия в этом случае можно записать в виде:
:
, (8.28)
:
(8.29)
Используя граничные условия, найдём константы A и B. Имеем:
(8.30)
(8.31)
Тогда поле перемещений определяется выражением:
+
. (8.32)
На границе полости (при ):
(8.33)
Поле напряжений определяется формулами:
, (8.34)
. (8.35)
На границе полости (при ) радиальные напряжения равны нулю.
Тангенциальные сжимающие напряжения равны удвоенному давлению:
(8.36)
Цилиндрическая полость в бесконечной среде при действии равномерного внутреннего давления
![]() |
Рис.8.4. Цилиндрическая полость в бесконечной среде при действии равномерного внутреннего давления
Граничные условия в этом случае определяются выражениями:
:
, (8.37)
:
. (8.38)
Константы интегрирования A и B при этих условиях определяются выражениями:
, (8.39)
. (8.40)
Поле напряжений можно найти, используя следующие выражения:
, (8.41)
(8.42)
Для поля перемещений имеем:
. (8.43)
Радиальные перемещения границы полости от внутреннего давления равны
. (8.44)
Последнее выражение используется в полевых испытаниях для определения модуля сдвига грунтов с помощью специального прибора прессометра, для чего в цилиндрической полости задаётся давление и определяется перемещение стенок полости.
8.2.2.4. Абсолютно жёсткое цилиндрическое тело в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления
Рассмотрим другой предельный случай, когда в среде, подверженной равномерному давлению находится абсолютно твёрдый цилиндр. Такая модель может описывать напряжённо деформированное состояние грунта и его воздействие на обделку, в том случае, когда жёсткость тоннельной обделки очень велика и тоннель расположен в слабых грунтах.
![]() |
Рис.8.5. Абсолютно жесткое тело в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления
Граничные условия в этом случае имеют следующий вид:
:
, (6.45)
:
(6.46)
Константы интегрирования A и B при этих условиях определяются выражениями:
, (6.47)
. (6.48)
Поле напряжений можно найти, используя следующие выражения:
, (6.49)
(6.50)
На границе жёсткого включения, что соответствует воздействию среды на цилиндр, имеем:
, (6.51)
(6.52)
Для поля перемещений вблизи цилиндрического включения имеем:
. (6.53)
Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления
Рассмотрим более реальный случай - цилиндрическая полость, подкреплённая цилиндрической оболочкой при действии в среде равномерного давления.
Рис.8.4. Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления
Для цилиндра можно записать следующие граничные условия:
r = a: , (8.54)
r = b: , (8.55)
где . Константы A1 и B1 в этом случае определяются выражениями
, (8.56)
, (8.57)
где и
упругие константы материала цилиндрической оболочки,
- нормальное давление грунта на оболочку.
Используя найденные константы A1 и B1, получим выражения для перемещений и напряжений в оболочке:
, (8.58)
, (8.59)
. (8.60)
На границе со средой перемещение внешней поверхности оболочки имеет вид:
(8.61)
Для среды, находящейся под постоянным гидростатическим давлением с цилиндрической полостью, контактирующей с цилиндрическим телом, можно записать следующие граничные условия:
:
, (8.62)
:
. (8.63)
Обозначив упругие константы, характеризующие среду и
, и используя граничные условия, определим константы интегрирования A2 и B2.
, (8.64)
(8.65)
Используя найденные константы A2 и B2, получим выражения для перемещений и напряжений в оболочке:
, (8.66)
, (8.67)
. (8.68)
На границе полости перемещение имеет вид:
(8.69)
Приравнивая нормальные перемещения внешней поверхности оболочки и границы полости, получим выражение для определения нормального давления на поверхность цилиндра:
. (8.70)
Для тонкостенного цилиндра, полученное выражение можно упростить, полагая и введя обозначение
для толщины цилиндра. Имеем
(8.71)
Отметим, что давление на цилиндр зависит от жёсткости цилиндра. При увеличении жёсткости цилиндра давление на цилиндр приближается к предельному значению
. (8.72)
При уменьшении жёсткости цилиндра давление на цилиндр уменьшается и в пределе равно нулю.
Выражение (8.71) можно представить в другом виде, используя более употребительные упругие константы, учитывая соотношения:
, (8.73)
(8.74)
Полученное выражение имеет вид:
(8.75)
Коэффициент включения в работу тоннельной обделки
(8.76)
Для тонкостенного цилиндра, с учётом принятых выше обозначений ( и
), имеем:
(8.77)
Коэффициент включения в работу тоннельной обделки
(8.78)