Тема. Задачи аналитической геометрии в пространстве

Практическое занятие 4

Тема. Задачи аналитической геометрии на плоскости

(2 часа)

Теория:

1. Полярные координаты. Параметрические уравнения линии

2. Расстояние между точками. Деление отрезка в заданном отношении.

3. Различные уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой. Точка пересечения прямых.

4. Кривые второго порядка.

Задания:

1. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат. А полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В полярной системе координат даны точки

, , , , , .

Определить декартовы координаты этих точек.

Ответ: , , , , , .

2. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат. А полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В декартовой прямоугольной системе координат даны точки

, , , , .

Определить полярные координаты этих точек.

Ответ: , , , , .

3. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими линиями (построить их на чертеже):

1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) .

4. Даны параметрические уравнения линий: 1) 2)

Исключив параметр t, найти уравнения этих линий в виде .

5. Даны две смежные вершины квадрата и . Вычислить его площадь

Ответ: 137 кв. ед.

6. Даны три вершины , и параллелограмма. Найти его четвертую вершину D.

Ответ: .

7. Отрезок, ограниченный точками и , разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

Ответ: и .

8. Написать уравнение прямой и привести его к общему виду, если прямая проходит 1) через точку перпендикулярно вектору ; 2) через точку параллельно прямой ; 3) через точки и .

Ответ: 1) , 2) , 3) .

9. Определить расстояние от точки до прямой .

Ответ: .

10. Показать, что прямые и пересекаются и найти точку пересечения.

Ответ: .

11. В треугольнике с вершинами , , найти: 1) уравнение стороны ; 2) уравнение высоты, проходящей через вершину С, и вычислить ее длину; 3) найти угол между этой высотой и медианой, проходящей через точку .

Ответ: 1) , 2) , , 3) .

12. Установить, какие линии определяются уравнениями: 1) , 2) , 3) .

Ответ: 1) окружность с центром и радиусом 5,

2) верхняя полуокружность с центром и радиусом 3,

3) часть эллипса с центром с полуосями и ,

лежащая в отрицательной полуплоскости

13. Дана гипербола . Найти: 1) полуоси, 2) фокусы, 3) уравнения асимптот

Ответ: 1) , , 2) , , 3) .

14. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус и директриса

Ответ: .

Практическое занятие 5

Тема. Задачи аналитической геометрии в пространстве

(2 часа)

Теория:

1. Различные уравнения плоскости. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

2. Различные уравнения прямой в пространстве. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.

Задания:

1. Даны две точки и . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Ответ: .

2. Вычислить площадь треугольника, отсекаемого плоскостью от координатного угла .

Ответ: 240 кв. ед.

3. Вычислить расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки , и .

Ответ: 4

4. Исследовать взаимное расположение данных пар плоскостей. В случае их параллельности найти расстояние между ними, в случае пересечения – угол между ними:

1) , ; 2) , .

Ответ: 1) , 2) .

5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно: 1) вектору ; 2) прямой .

Ответ: 1) , 2) .

6. Даны плоскость и прямая . Вычислить угол между ними.

Ответ: .