Задачи для самостоятельного решения

1)Вычислить определитель:

a) . (Областная, 1996, 15 мая)

 

b)квадратной матрицы восьмого порядка, у которой на главной диагонали стоят числа 1 4 0 4 1 9 9 9, а вне ее тройки. (Областная, 1999, 14 апреля)

2)Числа 1081, 1403, 2093, 1541 делятся на 23. Докажите, что делится на 23. (Международная, 2002)

3)Не развертывая определителей, доказать следующие тождества

А) ;

Б) .

4)Вычислить определитель . (Международная, 2002)

5)Пусть (по главной диагонали «двойки», над и под главной диагональю – «единицы», остальные – нули). Вычислить .

6)Вычислить , если , и при .

7)Вычислить .

(Или , и при . Найти .)

8)Вычислить при .

9)Вычислить .

10)Для любого вычислить определитель -го порядка

. (областная, 2011)

11)Решить уравнение .

12)Вычислить , если , и при . (Международная, 2002)

13) , и при . Найти .

14)Доказать, что для матриц A и B, таких что .

15)Как изменится определитель матрицы, если у всех его элементов изменить знак на противоположный? (П221)

16)Пусть – антисимметрическая матрица 2007 порядка.

17)Пусть . Матрица B получена из матрицы A симметрией относительно побочной диагонали. Выразить через .

18)При каких имеет решение матричное уравнение , где , . Найти все эти решения.

19)Доказать, что если в определителе порядка n на пересечении некоторых k строк и l столбцов, стоят элементы равные нулю, причем , то определитель равен нулю. (К 3.8.2)

20)Как изменится определитель порядка n, если его матрицу повернуть на 90° вокруг «центра»? (П231)

21)Чему равен определитель, у которого сумма строк с четными номерами равна сумме строк с нечетными номерами? (П232)

22)Пусть A – квадратная матрица n-го порядка. Элементы матрицы B выражаются через элементы матрицы A по формуле ( ). Матрица C получается из матрицы A заменой ее элементов на элементы, симметричные относительно побочной диагонали. Как связаны определители матриц В и A, С и А? (Областная, 1999)

23)Матрица Х является решением матричного уравнения где , . Доказать, что .

24)Пусть – квадратная матрица 2011-го порядка, . Сколько решений имеет уравнение ? (Областная, 2011)

25)Найти наибольшее значение определителя третьего порядка, составленного а) из чисел 0 и 1; б) из чисел 1 и –1. (К 3.8.1)

 

26)Решить уравнение , если .

27)Среди всех определителей третьего порядка с элементами равными 1 или –1 найти наибольший.

28)Пусть , – симметрические матрицы ( , ) 2007 порядка. Доказать, что определитель равен нулю.

29)Решить уравнение , если и X – целочисленна. (Указание: вычислить определитель от обеих частей)

30)Найти все матрицы X второго порядка, удовлетворяющие равенству .

31) , если . Доказать, что нет решений. (Указание: выделить полный квадрат).

32)Найти все квадратные матрицы второго порядка, такие что , .

33)При каких n совместна система , A – антисимметрическая матрица.

34) , при и при . Показать, что уравнение имеет ненулевое решение.

35)(М2, КЧ) Найти все числа c, умножение на которые невырожденной матрицы A не изменяет ее определителя. (П826)