Сформулировать третью теорему разложения (3 балла)
Дать определение функции-оригинала (2 балла)
Функцией-оригиналом интегрального преобразования Лапласа называется любая комплексная функция, удовлетворяющая условиям:
;
Кусочно-непрерывна на действительной оси, т.е. она может иметь разрывы только I рода, причем конечный интервал содержит лишь конечное число точек разрыва;
3) f(t) при t имеет ограниченный показатель роста, т.е. существуют такие постоянные M>0 и s, что
при t>0.
s0 – порядок роста функции f(t).
2. Дать определение изображения функции f(t) по Лапласу (2 балла)
Преобразование Лапласа – это интегральное преобразование, которое определяется соотношение
– интеграл Лапласа. Изображение интегрального преобразования Лапласа называют также изображением по Лапласу.
Сформулировать свойство линейности преобразования Лапласа (1 балл)
Сформулировать теорему подобия (1 балл)
, то для
Сформулировать теорему запаздывания (1 балл)
тогда
:
Сформулировать теорему смещения (1 балл)
тогда
:
Сформулировать теорему о дифференцировании оригинала (2 балла)
пусть – функция оригинал
– также функции оригинал
–показатель роста
, тогда :
Сформулировать теорему об интегрировании оригинала (2 балла)
Если , то
Сформулировать теорему о дифференцировании изображения (2 балла)
пусть – функция оригинал
Сформулировать теорему об интегрировании изображения (2 балла)
Если
- сходится, то
Сформулировать теорему умножения (теорему о свертке) (2 балла)
Если , тогда
12. Записать решение задами Коши ЛДУ с постоянными коэффициентами с нулевыми начальными условиями с помощью передаточной функции (3 балла)
Дано:
Рассмотрим:
13. Записать решение задачи Коши ЛДУ с постоянными коэффициентами с нулевыми начальными условиями с помощью интеграла Дюамеля (3 балла)
Дано:
Рассмотрим:
Сформулировать первую теорему разложения (3 балла)
Если аналитична в окрестности
, имеет нудь в бесконечно удаленной точки, то она является изображением:
Сформулировать вторую теорему разложения (3 балла)
Каждая рациональная функция , у которой степень числителя меньше степени знаменателя является изображением, а оригинал будет следующей функцией
, где :
и
многочлены относительно степени
.
В случае простых нулей
Сформулировать третью теорему разложения (3 балла)
Пусть – аналитическая всюду в
за исключением конечной или счетной последовательности точек
являются ее изолированными особыми точками все эти точки располагаются в некоторой левой полуплоскости
Пусть
1) послед.
такая, что
2) – абсолютно интегрируется вдоль любой вертикальной прямой
Тогда является изображением функции оригинала