Методические указания к выполнению расчётно–графической работы.

Задание для расчётно-графической работы.

I. Из приложения 1 или 2 взять выборку объёма n=150. Выборку произвести методом, указанным преподавателем.

2. По выборке найти статические оценки математического ожидания и среднего квадратичного отклонения ( и S ).

3. Построить гистограмму.

4. Подобрать закон распределения случайной величины (например: нормальный, показательный, равномерный).

5. Проверить согласие закона распределения с опытными данными по критерию при уровне значимости .

6. Теоретическую кривую нанести на гистограмму опытных данных.

Методические указания к выполнению расчётно–графической работы.

1. Упорядочить выборку по возрастанию, найти

2.Весь интервал, в который попали опытные данные, разбить на r частичных интервалов . При выборе длины частичных интервалов рекомендуется формула

. (1)

За шаг h разбиения интервала на частичные принимается некоторое удобное число, ближайшее к значению Для удобства границы интервалов выбираются так, чтобы результаты измерений не совпали с границами интервалов.

Начало первого интервала сдвинуть влево от значения (например, взять - 0,5).

3. Для каждого частичного интервала найти сумму частот вариант и считать, что сосредоточено в середине i – ого интервала, т.е. взять

4. Построить гистограмму частот. По виду гистограммы подобрать закон распределения случайной величины.

5. По выборке найти

6. Найти теоретические частоты , попавшие в i – ый интервал по формуле

, (4)

где .

Если случайная величина распределена по нормальному закону, то

, (5)

где Таблица значений функции Ф(x) приведена в приложении 4.

Если случайная величина распределена по закону Пуассона, то

(6)

7. Вычислить наблюдаемое значение критерия по формуле

(7)

где r – число интервалов, - эмпирическая частота i- ого интервала, - теоретическая частота i- ого интервала.

8. По таблице - распределения на уровне значимости и числе степеней свободы k найти критическое значение .

Число степеней свободы k находится по формуле

, (8)

где r – число частичных интервалов, l – число параметров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборки.

В частности, если предполагаемое распределение – нормальное, то оценивают два параметра (математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение), поэтому l=2. Если предполагают, что генеральная совокупность распределена по закону Пуассона, то оценивают один параметр , поэтому l=1.

9. Сравнить два значения и . Если , то нулевая гипотеза не отвергается, т.е. в этом случае отклонения от предполагаемого теоретического закона считаются незначительными. Если , то нулевая гипотеза отвергается.

Замечание. Малочисленные частоты ( 5) следует объединить. При определении числа степеней свободы в качестве r следует принять число групп выборки, оставшихся после объединения частот.

Пример.

Контролировался диаметр у 150 цапф передней оси, изготовленных на токарном станке. В результате были получены значения положительных отклонений в микронах (мк) от номинального размера 20 мк:

Проверить согласие нормального закона распределения с опытными данными по критерию при уровне значимости .

Решение

1. Случайную величину обозначим X. Находим:

Возьмём h = 3мк. Левый конец первого интервала возьмём 24,5мк. Из приведённых значений найдём число опытных данных, попавших в каждый частичный интервал.

Полученные данные сведём в таблицу 1.

Таблица 1

i		i
	24,5 - 27,5		39,5 - 42,5
	27,5 - 30,5		42,5 - 45,5
	30,5 - 33,5		45,5 - 48,5
	33,5 - 36,5		48,5 - 51,5
	36,5 - 39,5		51,5 - 54,5

2. построим гистограмму частот.

Таблица 2

3. Для каждого частичного интервала найдем . Вычислим значения и S по формулам (2) и (3).

Для удобства вычислений необходимые расчеты поместим в таблицу 3.

Таблица 3

i
	24,5-27,5
	27,5-30,5
	30,5-33,5
	33,5-36,5
	36,5-39,5
	39,5-42,5
	42,5-45,5
	45,5-48,5
	48,5-51,5
	51,5-54,5

Находим: ;

S=5,8.

По виду гистограммы (см. табл.2) можно предположить, что исследуемый признак распределен нормально.

4. Найдем теоретические частоты, используя формулы (4) и (5). Имеем

Для первого интервала левый конец изменим на , а для последнего интервала правый конец изменим на + . Таким образом, первый интервал будет , а последний - . Расчёт приведён в таблице 4.

Таблица 4

i
	27,5 27,5 30,5		0,39
	30,5 33,5	11,0	0,36
	33,5 36,5	20,2	0,39
	36,5 39,5	27,8	1,21
	39,5 42,5	30,6	0,01
	42,5 45,5	24,4	0,88
	45,5 48,5	15,4	0,02
	48,5 51,5 51,5		0,00
			3,26

Приведем пример расчета значения :

и так далее.

5. Проверку гипотезы о нормальном распределении проводим при уровне значимости

= 0,05 и числе степеней свободы Из таблицы (см. приложение 3) находим

В нашем примере , т.е. .

Следовательно, опытные данные согласуются с нормальным законом распределения. На гистограмму наложим теоретическую кривую, полученную в соответствии с нормальным законом распределения.

6. Для построения нормальной кривой по опытным данным находят ординаты (выравнивающие частоты ) по формуле

Значения функции находим в таблице приложения 5.

В прямоугольной системе координат строят точки и соединяют их плавной кривой.

Близость выравнивающих частот к наблюдаемым частотам подтверждает правильность допущения о том, что исследуемый признак распределен нормально.

Вычислим выравнивающие частоты для нашего примера. Имеем

Результаты вычислений поместим в таблицу 4.

Таблица 4

i
	-2,48	0,02	1,6
	-1,96	0,05	3,9
	-1,45	0,14	10,8
	-0,94	0,26	20,2
	-0,41	0,37	28,7
	0,10	0,39	30,3
	0,62	0,33	25,6
	1,14	0,21	16,3
	1,66	0,09	7,0
	2,17	0,04	3,1

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Опытные данные по долговечности деталей (по старой технологии) – X

№	Время час	№	Время час	№	Время час	№	Время час	№	Время час

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 (продолжение)

№	Время час	№	Время час	№	Время час	№	Время час	№	Время час

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 (окончание)

№	Время час	№	время час	№	Время час	№	Время час	№	Время час

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Опытные данные по долговечности деталей (по новой технологии) – Y

№	Время дни	№	Время дни	№	Время дни	№	Время дни	№	Время дни	№	Время дни

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 (продолжение)

№	Время дни	№	Время дни	№	Время дни	№	Время дни	№	Время дни	№	Время дни

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Критические точки распределения
Число степеней свободы k	Уровень значимости
0.01	0.025	0.05	0.95	0.975	0.99
	6.6	5.0	3.8	0.0039	0.00098	0.00016
	9.2	7.4	6.0	0.103	0.051	0.020
	11.3	9.4	7.8	0.352	0.216	0.115
	13.3	11.1	9.5	0.711	0.484	0.297
	15.1	12.8	11.1	1.15	0.831	0.554
	16.8	14.4	12.6	1.64	1.24	0.872
	18.5	16.0	14.1	2.17	1.69	1.24
	20.1	17.5	15.5	2.73	2.18	1.65
	21.7	19.0	16.9	3.33	2.70	2.09
	23.2	20.5	18.3	3.94	3.25	2.56
	24.7	21.9	19.7	4.57	3.82	3.05
	26.2	23.3	21.0	5.23	4.40	3.57
	27.7	24.7	22.4	5.89	5.01	4.11
	29.1	26.1	23.7	6.57	5.63	4.66
	30.6	27.5	25.0	7.26	6.26	5.23

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Таблицазначений функции

x	Ф (х)	x	Ф (х)	x	Ф (х)	x	Ф (х)
0,00	0,0000	0,20	0,0793	0,40	0,1554	0,60	0,2257
0,01	0,0040	0,21	0,0832	0,41	0,1591	0,61	0,2291
0,02	0,0080	0,22	0,0871	0,42	0,1628	0,62	0,2324
0,03	0,0120	0,23	0,0910	0,43	0,1664	0,63	0,2357
0,04	0,0160	0,24	0,0948	0,44	0,1700	0,64	0,2389
0,05	0,199	0,25	0,0987	0,45	0,1736	0,65	0,2422
0,06	0,0239	0,26	0,1026	0,46	0,1772	0,66	0,2454
0,07	0,0279	0,27	0,1064	0,47	0,1808	0,67	0,2486
0,08	0,0319	0,28	0,1103	0,48	0,1844	0,68	0,2517
0,09	0,0359	0,29	0,1141	0,49	0,1879	0,69	0,2549
0,10	0,0398	0,30	0,1179	0,50	0,1915	0,70	0,2580
0,11	0,0438	0,31	0,1217	0,51	0,1950	0,71	0,2611
0,12	0,0478	0,32	0,1255	0,52	0,1985	0,72	0,2642
0,13	0,0517	0,33	0,1293	0,53	0,2019	0,73	0,2673
0,14	0,0557	0,34	0,1331	0,54	0,2054	0,74	0,2703
0,15	0,0596	0,35	0,1368	0,55	0,2088	0,75	0,2734
0,16	0,0636	0,36	0,1406	0,56	0,2123	0,76	0,2764
0,17	0,0675	0,37	0,1443	0,57	0,2157	0,77	0,2794
0,18	0,0714	0,38	0,1480	0,58	0,2190	0,78	0,2823
0,19	0,0753	0,39	0,1517	0,59	0,2224	0,79	0,2852
x	Ф (х)	x	Ф (х)	x	Ф (х)	x	Ф (х)
0,80	0,2881	1,04	0,3508	1,28	0,3997	1,52	0,4357
0,81	0,2910	1,05	0,3531	1,29	0,4015	1,53	0,4370
0,82	0,2939	1,06	0,3554	1,30	0,4032	1,54	0,4382
0,83	0,2967	1,07	0,3577	1,31	0,4049	1,55	0,4394
0,84	0,2995	1,08	0,3599	1,32	0,4066	1,56	0,4406
0,85	0,3023	1,09	0,3621	1,33	0,4082	1,57	0,4418
0,86	0,3051	1,10	0,3643	1,34	0,4099	1,58	0,4429
0,87	0,3078	1,11	0,3665	1,35	0,4115	1,59	0,4441
0,88	0,3106	1,12	0,3686	1,36	0,4131	1,60	0,4452
0,89	0,3133	1,13	0,3708	1,37	0,4147	1,61	0,4463
0,90	0,3159	1,14	0,3729	1,38	0,4162	1,62	0,4474
0,91	0,3186	1,15	0,3749	1,39	0,4177	1,63	0,4484
0,92	0,3212	1,16	0,3770	1,40	0,4192	1,64	0,4495
0,93	0,3238	1,17	0,3790	1,41	0,4207	1,65	0,4505
0,94	0,3264	1,18	0,3810	1,42	0,4222	1,66	0,4515
0,95	0,3289	1,19	0,3830	1,43	0,4236	1,67	0,4525
0,96	0,3315	1,20	0,3849	1,44	0,4251	1,68	0,4535
0,97	0,3340	1,21	0,3869	1,45	0,4265	1,69	0,4545
0,98	0,3365	1,22	0,3883	1,46	0,4279	1,70	0,4554
0,99	0,3389	1,23	0,3907	1,47	0,4292	1,71	0,4564
1,00	0,3413	1,24	0,3925	1,48	0,4306	1,72	0,4573
1,01	0,3438	1,25	0,3944	1,49	0,4319	1,73	0,4582
1,02	0,3461	1,26	0,3962	1,50	0,4332	1,74	0,4591
1,03	0,3485	1,27	0,3980	1,51	0,4345	1,75	0,4599

ПРИЛОЖЕНИЕ 4 (продолжение)
x	Ф (х)	x	Ф (х)	x	Ф (х)	x	Ф (х)
1,76	0,4608	1,97	0,4756	2,36	0,4909	2,78	0,4973
1,77	0,4616	1,98	0,4761	2,38	0,4913	2,80	0,4974
1,78	0,4625	1,99	0,4767	2,40	0,4918	2,82	0,4976
1,79	0,4633	2,00	0,4772	2,42	0,4922	2,84	0,4977
1,80	0,4641	2,02	0,4783	2,44	0,4927	2,86	0,4979
1,81	0,4649	2,04	0,4793	2,46	0,4931	2,88	0,4980
1,82	0,4656	2,06	0,4803	2,48	0,4934	2,90	0,4981
1,83	0,4664	2,08	0,4812	2,50	0,4938	2,92	0,4982
1,84	0,4671	2,10	0,4821	2,52	0,4941	2,94	0,4984
1,85	0,4678	2,12	0,4830	2,54	0,4945	2,96	0,4985
1,86	0,4686	2,14	0,4838	2,56	0,4948	2,98	0,4986
1,87	0,4693	2,16	0,4846	2,58	0,4951	3,00	0,49865
1,88	0,4699	2,18	0,4854	2,60	0,4953	3,20	0,49931
1,89	0,4706	2,20	0,4861	2,62	0,4956	3,40	0,49966
1,90	0,4713	2,22	0,4868	2,64	0,4959	3,60	0,499841
1,91	0,4719	2,24	0,4875	2,66	0,4961	3,80	0,499928
1,92	0,4726	2,26	0,4881	2,68	0,4963	4,00	0,499968
1,93	0,4732	2,28	0,4887	2,70	0,4965	4,50	0,499997
1,94	0,4738	2,30	0,4893	2,72	0,4967	5,00	0,499999
1,95	0,4744	2,32	0,4898	2,74	0,4969
1,96	0,4750	2,34	0,4904	2,76	0,4671

ПРИЛОЖЕНИЕ 5 Таблица значений функции

0,0	0,3989
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0	0,2420
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9

2,0	0,0540
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0	0,0044
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9

Библиографический список.

Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2002.
ГОСТ 11. 006- 74. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим.
Шторм Р. Теория вероятностей. Математическая статистика. Статистический контроль качества. М.: Мир, 1970.