Лінійне поліноміальне згладжування.

Розрахункова робота з дисципліни

“Системи обробки сигналів та зображень”

Варіант 2

 

 

       
 
Перевірив: Ігнатенко В.М.
 
Виконав: Студенти ІІ курсу ФІОТ Групи ІК-02 Дзідзоєв Артур
 

 


Київ – 2012


 

Зміст:

1. Варіант завдання розрахункової роботи

2. Теоретичні відомості

3. Розрахунок

4.Висновки

 

Варіант завдання розрахункової роботи

Варіант 2.

2.1 Дискретизовний сигнал заданий своїми значеннями у наступній таблиці:

0,2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8
-0.8 -0.6 0.2 0.7 0.9 1.4 0.8 0.4 0.1 -0.2

 

Провести згладжування (апроксимацию) даних за допомогою полінома

Вирахувати значення різниць (відхилень) між вихідними і згладженими даними, знайти максимальне по модулю значення їх різниці та суму квадратів відхилень між вихідними та згладженими даними. Подати усі вихідні дані та результати обчислювань у відповідній табличній та графічній формі.

 

2.2 Розглядається задача відновлення дискретизованого часового сигнала

по його заданому спектру (амплітудному та фазовому наступного вигляду

 

гц …. …. … … …
град -180 -90 -90 -180

 

Дати графічну інтерпретацію заданого спектру у вигляді відповідного графіка і знайти аналітичний вираз для часового сигналу , визначивши його період дискретизації , інтервал визначення ,число дискрет N і частоту дискретизації .


Теоретичні відомості

Лінійне поліноміальне згладжування.

Метод ковзаючого середнього має один суттєвий недолік – зростаюча втрата даних при збільшені числа проходів згладжування. Цей недолік можна усунути якщо замість полінома нулевої степені використати поліном першої степені , який має вже два шуканих коефіцієнта та ; тобто він подається у такому вигляді і задає пряму лінію. Знову ж таки вибираємо для побудови цього поліному мінімально можливу кількість даних з вихідного масиву - три, записуючи квадратичну міру близькості і поліном у такому вигляді:

(2.1.1)

Оптимальні значення шуканих коефіцієнтів на -тому кроці згладжування знаходиться із умови екстремуму (мінімуму) міри близькості (2.1.1), тобто:

, (2.1.2)

що дає після перетворення таку систему алгебраїчних рівнянь:

(2.1.3)

Припускаючи, що дискрети рівновіддалені одна від одної з інтервалом , маємо:

,

а в системі рівнянь (2.1.3) отримуємо такі коефіцієнти:

В результаті система рівнянь (2.1.3) перетворюється в таку:

(2.1.4)

що дає наступний розв’язок:

(2.1.5)

Оскільки значення згладжених даних тепер розраховуються по поліному у точці , то і у виразі

(2.1.6)

зникає різниця і тому залишається тільки , тобто необхідно використати тільки коефіцієнт , , а значить і вирахувати тільки наступне:

(2.1.7)

Якщо поставити за мету не втрачати по два значення – одне на початку, а друге – в кінці масиву даних, то потрібно скористатися повним виразом для поліному з коефіцієнтами при і , а також і відповідно, що дає:

(2.1.8)

Підставивши (2.1.5) в (2.1.8) отримуємо таке:

(2.1.9)