Розривні функції. Види розривів
Означення неперервності функцій
|


















Рис. 28.
Означення 1. Функція називається неперервною в точці
,якщо вона визначена в точці
, а також в деякому околі цієї точки, і якщо н.м. приросту аргумента
відповідає н.м. приріст функції
, тобто
, (1)
або рівносильне цьому
(2)
Перетворимо рівність (2)
Оскільки
, то
, і крім того,
(
стала!), то далі маємо
(3)
Отже, якщо функція неперервна в точці , то границя функції дорівнює значенню цієї функції в точці
. Якщо ж врахувати, що
, то рівність (3) запишеться
(4)
Рівність (4) означає, що для неперервної функції можна переходити до границі під знаком функції.
Довести, що функції є неперервними в довільній точці
.
1. Нехай . Тоді для
знаходимо
.
Звідки знаходимо
Із неперервна функція для
Аналогічно можна довести, що неперервними є функції натуральне).
2. Нехай .
Подібно попередньому для знаходимо
,
при
.
3. Нехай .
Для
маємо
,
див. формулу 8 таблиці »
еквівалентних із 3.12
, при
.
4. Нехай
Для
» Див. формулу 7 із 3.12. таблиці
.
еквівалентних н.м.
Отже, неперервна функція для
. Враховуючи (4), можна сказати, що
це і було використано в 3.12 при доведенні формули (1).
Подібним чином можна довести неперервність решти основних елементарних функцій в довільній точці , де ці функціїї визначені.
Означення 2. Якщо функція неперервна в кожній точці деякого інтервалу
, де
, то кажуть, що функція неперервна на цьому інтервалі.
Якщо функція визначена в точці
і при цьому
, то говорять, що
неперервна справав точці
. Якщо
, то говорять, що
неперервназліва в точці
.
Якщо функція неперервна на інтервалі
і неперервна на кінцях цього інтервала, відповідно справа і зліва, то говорять, що функція
неперервна на всьому відрізку
.
Наведемо без доведення наступну теорему.
Теорема. Всяка елементарна функція неперервна в кожній точці, в якій вона визначена.
Розривні функції. Види розривів
Якщо в якійсь точці для функції
не виконується хоча б одна із умов неперервності , тобто якщо в точці
функція невизначена, або неіснує границя
, або
при довільному прямуванні
, хоча вирази
і
існують, то при
функція
розривна. Точка
називається точкою розривуфункції.
Розрізняють такі три види розривів:
1) усувний розрив;
2) розрив І-го роду або скінченний розрив;
3) розрив ІІ-го роду або нескінченний розрив.
Якщо функція в деякому околі точки
визначена і її односторонні границі збігаються, тобто
=
,
а в самій точці функція невизначена , то в цій точці
має усувний розрив. Цей розрив можна усунути, приписавши функції значення, що збігається з односторонніми границями і взявши
=
.
Наприклад, функція неперервна на всьому інтервалі від –¥ до +¥, крім точки
. В точці
функція
розривна.
Розглянемо нову функцію , таку, що
якщо
, а при
покладемо
Побудована таким чином функція
є неперервною для (див. рис. 29), тобто розрив усунули.
Рис. 29.
Якщо односторонні границі функції скінченні при
і
, то функція в точці
має розрив І-го роду або скінченний розрив.
Наприклад, функція при
дорівнює
при
а при
функція невизначена, тоді
отже має розрив І-го роду (див. рис. 30).
Рис. 30.
Стрибком функції називається величина
У точках неперервності стрибок , для розривів І-го роду він скінченний. Для розглянутого на рис. 30 графіка стрибок
.
Якщо хоча б одна з односторонніх границь функції в точці
є нескінченною або не існує, тоді функція в точці
має розрив ІІ-го роду або нескінченний розрив.
Наприклад, в точці
невизначена,
, а
, тобто односторонні границі нескінченні, тому тут розрив ІІ-го роду (див. рис.31).
Так само точка є точкою розриву ІІ-го роду для розглянутої раніше функції
, бо
не існує.