Вынужденные колебания механической системы с одной степенью свободы без сопротивления.
Q(t) - обобщенная сила характеризующая внешнее воздействие на колебательную систему. 
, где: H - амплитуда, p - циклическая (круговая) частота, 
- начальная фаза обобщенной силы. Определяем положение системы обобщенной координатой q, при равновесии 
Уравнение Лагранжа II рода: 
(1). Так как равновесие устойчиво, а возмущения малы, для Т и П воспользуемся выражениями: 
, 
. Находим: 
(2). Подставляя (2) в (1), получим: 
, где: 
= const, круговая или циклическая частота собственных колебаний системы, 
= const. 
- НЛДУ II порядка с постоянными коэффициентами (1). Решение q(t) это сумма общего решения 
однородного уравнения и частного решения 
неоднородного уравнения, то есть: 
. Однородное уравнение для определения 
это уравнениее собственных колебаний, его решение: 
. Частное решение 
неоднородного уравнения называют вынужденными колебаниями системы. Оно зависит от соотношения круговых частот «k» и «p» свободных колебаний и возмущающей силы. Здесь возможны два случая: отсутствие резонанса ( 
) и резонанс ( 
). k≠p 
- частное решение (1) Далее, учитывая общее решение уравнения и частное, запишем общее решение для (1): 
, или в амплитудной форме 
Постоянные 
и 
определяются из начальных условий: 
.k=p 
- частное решение (1) Далее, учитывая общее решение уравнения и частное, запишем общее решение для (1): 
, или в амплитудной форме: 
. Постоянные и 
определяются из начальных условий: 
.
18)Свободные колебания механической системы с двумя степенями свободы без сопротивления.
В частном случае системы с двумя степенями свободы квадратичные формы Т, П, Ф будут соответственно равны 
; (4.1) 
; (4.2) 
, (4.3) а дифференциальные уравнения малых колебаний примут вид 
(4.4) Рассмотрим свободные колебания консервативной системы. В этом случае 
и дифференциальные уравнения принимают вид: 
(4.5) Начальные условия для 
имеют вид: 
(4.6) В силу положительной определенности квадратичной формы кинетической энергии обобщенные инерционные коэффициенты удовлетворяют соотношениям 
а аналогичные соотношения для квазиупругих коэффициентов 
являются достаточными условиями устойчивости положения равновесия системы. Коэффициенты 
и 
, связывающие в уравнениях (4.5) обобщенные координаты 
и 
, называют соответственно коэффициентами инерционной и упругой связи. Если в колебательной системе коэффициент 
, ее называют системой с упругой связью, а если 
– системой с инерционной связью. Парциальной системой, соответствующей обобщенной координате 
, называют условную колебательную систему с одной степенью свободы, получаемую из исходной системы, если наложить запрет на изменение всех обобщенных координат, кроме . Парциальными частотами называют собственные частоты 
парциальных систем: 
. (4.7) Поскольку уравнения (4.5) содержат только обобщенные координаты и их вторые производные по времени, ищем их решение в виде 
(4.8) где 
– пока неопределенные величины. Подставив (4.8) в (4.5) и приравняв коэффициенты при синусах, получим однородную алгебраическую систему относительно 
и А₂ 
(4.9) Для того, чтобы однородная алгебраическая система (4.9) имела ненулевое решение, она должна быть вырожденной, т.е. ее определитель должен равняться нулю: 
(4.10) Следовательно, решение (4.7) будет иметь смысл только при тех значениях 
, которые удовлетворяют условию (4.9). Раскрывая (4.10), получаем 
(4.11) или 
(4.12) Уравнение, представленное в форме (4.10), (4.11) или (4.12) называют частотным.Как видно из (4.12) частотное уравнение – биквадратное уравнение. Найденные из (4.10)–(4.12) значения 
называют собственными частотами колебаний системы.Исследование корней частотного уравнения позволяет сделать следующие выводы: 1) если положение равновесия устойчивое, то оба корня частотного уравнения положительны; 2) первая собственная частота системы 
всегда меньше меньшей парциальной частоты, а вторая 
– больше большей парциальной частоты. Для колебательных систем с упругой связью ( 
= 0) справедливо равенство 
(4.13) Запишем два частных независимых решения, соответствующих частотам и , в виде 
(4.14) где вторая цифра в индексе соответствует номеру частоты, или номеру тона колебаний.Константы 
не являются независимыми, так как система (4.9) вырожденная. Коэффициенты связаны между собой соотношениями 
, где 
. (4.15) 
, где 
. (4.16) С учетом (4.15) и (4.16) частные решения (4.14) будут иметь вид 
(4.17) Колебания, уравнения которых имеют вид (4.17) называют хлавными колебаниями. Они представляют собой гармонические колебания с частотами и соответственно. Коэффициенты 
называют коэффициентами распределения амплитуд. Они характеризуют отношение амплитуд в главных колебаниях или форму главных колебаний. Коэффициенты распределения амплитуд и, следовательно, формы главных колебаний, как и собственные частоты, определяются параметрами самой колебательной системы и не зависят от начальных условий. Поэтому формы колебаний называют, так же как и частоты, собственными формами колебаний при колебаниях по соответствующему тону. Общее решение системы уравнений (4.5) может быть представлено как сумма найденных частных решений (4.17) 
(4.18) Общее решение содержит четыре неопределенные постоянные 
, которые должны определяться из начальных условий (4.6). При произвольных начальных условиях обе константы 
и 
отличны от нуля. Это означает, что изменение во времени каждой обобщенной координаты будет представлять собой сумму хармонических колебаний с частотами 
и 
. А такие колебания являются не только не хармоническими, но в общем случае и не периодическими. Рассмотрим случай свободных колебаний системы, когда собственные частоты колебаний системы и мало отличаются друг от друга: 
Обозначим 
разность аргументов синусов в общем решении (4.18) уравнений свободных колебаний 
. (4.19) При 
величина 
, а с возрастанием времени эта зависимость из-за малости 
увеличивается очень медленно. Тогда 
С учетом последнего равенства, общее решение уравнений свободных колебаний (4.18) может бытьт записано в виде: 
(4.20) В этих уравнениях 
(4.21) Так как выражения (4.21) зависят от 
и 
, а угол медленно изменяется с изменением времени, то рассматриваемые колебания (4.20) будут колебаниями с периодически изменяющейся амплитудой. Период изменения амплитуды в этом случае значительно больше периода колебаний (рис. 4.1). Если коэффициенты распределения амплитуд 
и 
имеют разные знаки, то максимуму 
соответствует минимум 
и наоборот. При усилении первого главного колебания интенсивность второго главного колебания уменьшается и наоборот, то есть энергия движения системы периодически оказывается как бы сосредоточенной то в одном, то в другом звене этой вибрирующей системы. Такое явление называют биением.Возможен другой подход к решению задачи о свободных колебаниях системы – найти какие-то новые обобщенные координаты 
и 
называемые нормальнымиили главными, для которых при любых начальных условиях движение будет одночастотным и хармоническим. Зависимость между обобщенными координатами и , выбранными произвольно, и главными координатами и можно выразить так: 
(4.22) где и – коэффициенты распределения амплитуд (коэффициенты формы). Можно показать, что переход от исходных координат к главным приводит квадратичные формы кинетической и потенциальной энергии к каноническому виду: 
(4.23) Здесь 
Подставив полученные для 
и 
выражения (4.23) в уравнения Лагранжа второго рода, получим уравнения малых колебаний системы в главных координатах: 
причем 
Выразив из системы (4.22) и через и получим
(4.24)Нормальные координаты находят широкое применение при решении задач о вынужденных колебаниях в случае произвольного возмущения, а также при решении задач о свободном движении в неконсервативных системах. Вопросы? Не слышу?
19)Вынужденные колебания механической системы с двумя степенями свободы без сопротивления. Не проходили:D