ТЕМА «НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ.
Министерство образования Тверской области
ГБПОУ «Тверской колледж им. А.Н. Коняева»
Математика
Методические рекомендации
для выполнения домашней работы по дисциплине «Математика»
(для студентов-заочников)
Тверь 2016 г
Одобрено предметной (цикловой) Заместитель директора
комиссией по учебной работе
Председатель: Лабудина И.А. Лукина Н.С.
____________________ _____________________
Составил: Бодров Е.Н.
__________________
Учебное пособие содержит материал по темам «Пределы», «Производная», «Интеграл», «Комплексные числа». Пособие предназначено для студентов-заочников, изучающих дисциплину «Математика»
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. 4
ЗАДАНИЯ ДОМАШНЕЙ РАБОТЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИХ ВЫПОЛНЕНИЮ 5
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.. 12
ПРИЛОЖЕНИЯ.. 13
ВВЕДЕНИЕ
Перед выполнением домашней работы студентам рекомендуется изучить соответствующие темы по учебникам указанным в списке литературы.
При выполнении домашней работы следует руководствоваться следующими требованиями.
1. Работа должна быть представлена в срок, установленный графиком учебного процесса.
2. Работа должна быть правильно оформлена и выполнена четким, разборчивым почерком без применения сокращений слов. Страницы должны быть пронумерованы и иметь поля для замечаний преподавателя.
3. В начале работы должен быть указан номер варианта. Номер варианта работы соответствует последней цифре зачётной книжки студента.
4. Последовательность изложения решений задач должна соответствовать их номерам в домашней работе.
5. Перед решением задач необходимо указать их номер и полностью привести условие.
6. Решение задания должно завершаться ответом с указанием искомых величин и их значений.
7. Решение задач следует представлять в развернутом виде с краткими пояснениями и подробными арифметическими расчетами. При этом сначала необходимо привести определение и выражение для вычисления искомой характеристики. Задачи, в которых приводятся только ответы без промежуточных вычислений, считаются нерешенными.
8. Титульный лист работы должен быть корректно оформлен.
Студенты, не выполнившие домашнюю работу или не устранившие замечания преподавателя, к сдаче зачёта не допускаются.
ЗАДАНИЯ ДОМАШНЕЙ РАБОТЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИХ ВЫПОЛНЕНИЮ
Тема «Пределы»
Задание №1.Вычислить пределы.
1. а)  ; б)  в)  .
2. а)  ;б)  ;в)  .
3. а)  ;б)  ;)  .
4. а)  ;б)  ; в)  .
5. а)  ;б)  ;в)  .
6. а)  ;б)  ;в)  .
7.а)  ;б)  ; в)  .
8. а)  ;б)  ;в)  .
9. а)  ; б)  ; в)  .
10. а)  ; б)  ; в)  .
|
Решение типового примера. Найти пределы
а) 
. При 
и числитель и знаменатель дроби, стремятся к нулю (неопределенность 
). Для
раскрытия неопределенности разложим многочлен и в числителе и знаменателе на линейные множители и сократим дробь. Получим,
.
б) 
. При 
числитель и знаменатель дроби стремятся к 
(неопределенность 
). Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель на х2 (х2 – самая высокая степень х). Получим,
.
в) 
. Для раскрытия неопределенности воспользуемся правом замены эквивалентных бесконечно малых сомножителей (приложения, таблица 5). В нашем случае 
~3х, sin5x~5х. Поэтому, 
.
г) 
. Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель умножим на сопряженную величину 
. Получим,
.
ТЕМА «ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ»
Задание №2.Найти производные функций, пользуясь правилами и формулами дифференцирования.
| 1. | а)  ,
|
б)  ,
| |
| 2. | а)  ,
|
б)  ,
| |
| 3. | а)  ,
|
б)  ,
| |
| 4. | а)  ,
|
б)  ,
| |
| 5. | а)  ,
|
б)  ,
| |
| 6. | а)  ,
|
б)  ,
| |
| 7. | а)  ,
|
б)  ,
| |
| 8. | а)  ,
|
б)  ,
|
| 9. | а)  ,
|
б)  ,
| |
| 10. | а)  ,
|
б)  ,
|
Решение типового примера
Для нахождения производных надо использовать таблицу производных от основных элементарных функций (приложения, таблица 1),
а также пользоваться арифметическими свойствами производной (приложения, таблица 2) и правилом дифференцирования сложной функции 
.
Например, найти производную функции 
. Данная функция является сложной и имеет вид: 
. Поэтому, 
При вычислении производной мы пользовались формулами:
.
ТЕМА «НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОД ПОДСТАНОВКИ»
Задание №3. Найти неопределенные интегралы методом подстановки (методом замены переменной).
| 1. |  .
| 8. |  .
|
| 2. |  .
| 9. |  .
|
| 3. |  .
| 10. |  .
|
| 4. |  .
| ||
| 5. |  .
| ||
| 6. |  .
| ||
| 7. |  .
|
Решение типовых примеров.
Найти неопределенные интегралы: (приложения, таблица 4)
1. 
. Сделаем замену t=arccosx. Тогда 
и 
.
2. 
. Применим подстановку 
, тогда 
, откуда 
.
ТЕМА «НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ.
Задание №4. найти неопределенные интегралы, применяя метод интегрирования по частям.
| 1. |  .
| 8. |  .
|
| 2. |  .
| 9. |  .
|
| 3. |  .
| 10. |  .
|
| 4. | 
| ||
| 5. |  .
| ||
| 6. |  .
| ||
| 7. |  .
|
Решение типового примера.
Найти интеграл:
1. 
Решение: применим формулу интегрирования по частям 
. Разбиваем подитегральное выражение на части: 
,
тогда 
.
Следовательно, 
.
2. 
Решение: положим 
, тогда 
Отсюда 
. Применяя в последнем интеграле подстановку 
, получаем 
, следовательно, 
,
отсюда 
.
ТЕМА «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА»
Задание №5. Даны комплексные числа. Найти: а) их сумму; б) их разность; в) их произведение; г) их частное; д) квадрат каждого числа.
1. 
, 
;
2. 
, 
;
3. 
, 
;
4. 
, 
;
5. 
, 
;
6. 
, 
;
7. 
, 
;
8. 
, 
;
9. 
, 
;
10. 
, 
.
Решение типового примера
Пусть даны комплексные числа 
, 
.
а) 
.
б) 
в) 
Замечание: 
г) 