Автономные системы. Свойства.
Автономной системой дифференциальных уравнений n –го порядка называется система, которая в нормальной форме записывается в виде
В векторной форме автономная система имеет вид x' = F(x) (не зависит от t), где
Название автономная система связано с тем, что поскольку производная x' зависит только от x и не зависит от t, то решение само управляет своим изменением. Автономные системы называют также динамическими системами.
Любую систему дифференциальных уравнений, записанную в нормальной форме, можно свести к автономной системе, увеличив число неизвестных функций на единицу:
Будем полагать, что для рассматриваемых автономных систем выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
Пусть x = (t) — решение автономной системы, определенное на отрезке [a, b]. Множество точек x = (t) , t [a, b] — кривая в пространствеRxn . Эту кривую называют фазовой траекторией или просто траекторией системы, а пространство Rxn , в котором расположены фазовые траектории, называют фазовым пространством автономной системы.
Точка a называется положением равновесия (точкой покоя) автономной системы, если F(a) = 0 .
Равенство x = (t) , t [a, b] — параметрические уравнения фазовой траектории.
Интегральная кривая системы изображается в (n + 1) –мерном пространстве Rx, tn+1 и может быть определена уравнениями
Ясно, что соответствующая фазовая траектория — проекция интегральной кривой на пространство Rx.
Свойства: Если - решение автономной системы дифференциальных уравнений (в векторном виде), то эта функция остаётся решением и при сдвиге аргумента. Автономная система моделирует автономные процессы, т.е. процесс, не подверженные внешним влияниям, и стационарные процессы, т.е. процессы, установившиеся во времени. Все эти процессы полностью определяются начальными значениями переменных состояния, т.е.
, и не зависят от выбора начального значения аргумента
.
38) Положения равновесия. Циклы.
39) Особые точки. Узлы, центр, седло.
40) Основные понятия устойчивости по Ляпунову.
41) Устойчивость линейных систем.
Для линейной системы
x = A(t)x + b(t), | (ЛС) |
aij, bi C([t0, +), R), |
и любого ее решения x = (t) приведенная система совпадает с соответствующей (ЛОС).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Произведем замену y = x – (t):
y = A(t)x + b(t) – A(t)(t) – b(t) = A(t)(x – (t)) = A(t)y. | ||
Критерии устойчивости (ЛС). Пусть t0(t) — фундаментальная матрица (ЛОС), нормальная в t0. Утверждается, что | ||
(а) (ЛС) устойчива t0(t) ограничена на [t0, +); |
(б) (ЛС) асимптотически устойчива t0(t) 0 при t + (ЛС) асимптотически устойчива в целом; |
(в) (ЛС) экспоненциально устойчива (M > 0, > 0) (t t0) [||t0(t)|| Me–(t–t0)] (ЛС) экспоненциально устойчива в целом. |
Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Пусть (ЛС) устойчива, т. е. устойчиво нулевое решение (ЛОС). Положив в определении устойчивости = 1, найдем > 0 такое, что
||x0|| < ||gt0t(x0)||= ||t0(t)x0|| < 1 (t t0). |
Следовательно, если ||x|| = 1, то ||x/2|| < и
|
Поэтому ||t0(t)|| < 2/, т. е. t0(t) ограничена. | ||
Если, наоборот, известно, что ||t0(t)|| H (t t0), | ||
то ||gt0t(x0)|| H||x0||, | ||
так что для любого > 0 в определении устойчивости нулевого решения (ЛОС) можно взять = /H.
(б) Пусть (ЛС) асимптотически устойчива. Тогда ||x0|| < ||t0(t)x0|| 0 при t +. |
В частности для орта ek
|
(мы рассматриваем произвольную норму в Rn, поэтому, возможно, ||ek|| 1). Это означает, что все столбцы матрицы t0(t) стремятся к нулю при t +; но тогда и сама матрица стремится к нулю. |
Пусть дано, что t0(t) 0 при t +. Тогда для любого x0 Rn |
gt0t(x0)= t0(t)x0 0 при t +, |
т. е. (ЛС) асимптотически устойчива в целом.
Наконец, из асимптотической устойчивости в целом следует асимптотическая устойчивость.
(в) Если (ЛС) экспоненциально устойчива, то существуют 1 > 0, M > 0 и > 0 такие, что
||x0|| < 1 ||t0(t)x0|| Me–(t–t0)||x0|| (t t0). |
Поэтому для любого x, удовлетворяющего условию ||x|| = 1, будем иметь:
|
|
Следовательно,
||t0(t)|| Me–(t–t0) (t t0). |
Наоборот, если выполнено последнее неравенство, то для любого x0
||t0(t)x0|| ||t0(t)||·||x0|| Me–(t–t0)||x0|| (t t0), |
т. е. (ЛС) экспоненциально устойчива в целом.
Остается заметить, что экспоненциальная устойчивость в целом влечет экспоненциальную устойчивость.
42) Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
43) Интегрирование линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка.