Автономные системы. Свойства.

Автономной системой дифференциальных уравнений n –го порядка называется система, которая в нормальной форме записывается в виде

В векторной форме автономная система имеет вид x' = F(x) (не зависит от t), где

Название автономная система связано с тем, что поскольку производная x' зависит только от x и не зависит от t, то решение само управляет своим изменением. Автономные системы называют также динамическими системами.

Любую систему дифференциальных уравнений, записанную в нормальной форме, можно свести к автономной системе, увеличив число неизвестных функций на единицу:

Будем полагать, что для рассматриваемых автономных систем выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Пусть x = (t) — решение автономной системы, определенное на отрезке [a, b]. Множество точек x = (t) , t [a, b] — кривая в пространствеRxn . Эту кривую называют фазовой траекторией или просто траекторией системы, а пространство Rxn , в котором расположены фазовые траектории, называют фазовым пространством автономной системы.

Точка a называется положением равновесия (точкой покоя) автономной системы, если F(a) = 0 .

Равенство x = (t) , t [a, b] — параметрические уравнения фазовой траектории.

Интегральная кривая системы изображается в (n + 1) –мерном пространстве Rx, tn+1 и может быть определена уравнениями

Ясно, что соответствующая фазовая траектория — проекция интегральной кривой на пространство Rx.

Свойства: Если - решение автономной системы дифференциальных уравнений (в векторном виде), то эта функция остаётся решением и при сдвиге аргумента. Автономная система моделирует автономные процессы, т.е. процесс, не подверженные внешним влияниям, и стационарные процессы, т.е. процессы, установившиеся во времени. Все эти процессы полностью определяются начальными значениями переменных состояния, т.е. , и не зависят от выбора начального значения аргумента .

38) Положения равновесия. Циклы.

39) Особые точки. Узлы, центр, седло.

 

 

40) Основные понятия устойчивости по Ляпунову.

41) Устойчивость линейных систем.
Для линейной системы

x = A(t)x + b(t), (ЛС)

 

aij, bi C([t0, +), R),

и любого ее решения x = (t) приведенная система совпадает с соответствующей (ЛОС).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Произведем замену y = x – (t):

y = A(t)x + b(t) – A(t)(t) – b(t) = A(t)(x – (t)) = A(t)y.
Критерии устойчивости (ЛС). Пусть t0(t) — фундаментальная матрица (ЛОС), нормальная в t0. Утверждается, что
     

 

(а) (ЛС) устойчива t0(t) ограничена на [t0, +);

 

(б) (ЛС) асимптотически устойчива t0(t) 0 при t + (ЛС) асимптотически устойчива в целом;

 

(в) (ЛС) экспоненциально устойчива (M > 0, > 0) (t t0) [||t0(t)|| Me–(t–t0)] (ЛС) экспоненциально устойчива в целом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Пусть (ЛС) устойчива, т. е. устойчиво нулевое решение (ЛОС). Положив в определении устойчивости = 1, найдем > 0 такое, что

||x0|| < ||gt0t(x0)||= ||t0(t)x0|| < 1 (t t0).

Следовательно, если ||x|| = 1, то ||x/2|| < и

||t0(t)x0|| = ||t0(t)(x/2)|| < .

 

Поэтому ||t0(t)|| < 2/, т. е. t0(t) ограничена.
Если, наоборот, известно, что ||t0(t)|| H (t t0),
то ||gt0t(x0)|| H||x0||,
     

так что для любого > 0 в определении устойчивости нулевого решения (ЛОС) можно взять = /H.

(б) Пусть (ЛС) асимптотически устойчива. Тогда ||x0|| < ||t0(t)x0|| 0 при t +.

В частности для орта ek

||t0(t)ek|| = 2||ek|| · || t0(t) ( ek· 2||ek|| ) || 0 при t +

 

(мы рассматриваем произвольную норму в Rn, поэтому, возможно, ||ek|| 1). Это означает, что все столбцы матрицы t0(t) стремятся к нулю при t +; но тогда и сама матрица стремится к нулю.

 

Пусть дано, что t0(t) 0 при t +. Тогда для любого x0 Rn

 

gt0t(x0)= t0(t)x0 0 при t +,

т. е. (ЛС) асимптотически устойчива в целом.

Наконец, из асимптотической устойчивости в целом следует асимптотическая устойчивость.

(в) Если (ЛС) экспоненциально устойчива, то существуют 1 > 0, M > 0 и > 0 такие, что

||x0|| < 1 ||t0(t)x0|| Me–(t–t0)||x0|| (t t0).

Поэтому для любого x, удовлетворяющего условию ||x|| = 1, будем иметь:

||t0(t)x|| = 1 || t0(t) ( x· 1 ) ||

 

 

  1 Me–(t–t0) || x0· 1 || = Me–(t–t0)||x||.

Следовательно,

||t0(t)|| Me–(t–t0) (t t0).

Наоборот, если выполнено последнее неравенство, то для любого x0

||t0(t)x0|| ||t0(t)||·||x0|| Me–(t–t0)||x0|| (t t0),

т. е. (ЛС) экспоненциально устойчива в целом.

Остается заметить, что экспоненциальная устойчивость в целом влечет экспоненциальную устойчивость.

 

42) Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

43) Интегрирование линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка.