С постоянными коэффициентами
Методы решения дифференциальных уравнений высшего порядка.
Уравнение вида .
Простейшим уравнением n-го порядка является уравнение вида 
. Запишем это уравнение в виде: 
. Интегрируя по 
левую и правую части выражения, получим 
. Интегрируя еще раз получим
И так далее пока не будет найдено выражение общего интеграла y(x);
Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка.
а). Уравнение вида 
(3)
не содержит явным образом искомой функции 
. Тогда полагая 
, получим 
. Подставляя эти выражения производных в уравнение (3)
получим 
– дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно неизвестной функции 
от . Проинтегрировав это уранение находим его общее решение 
, а затем из соотношения получаем общий интеграл уравнения (3): 
б). Уравнение вида 
не содержит явным образом независимого переменного . Положим 
, считая 
– функцией от , тогда 
. Уравнение приобретет вид 
, т.е. вид дифференциального уравнения 1-го порядка относительно 
. Вычислив 
будем иметь: 
или 
. Итак, 
– общий интеграл исходного уравнения.
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
Это уравнение допускает понижение порядка. Перепишем его в виде: 
или 
, т.е. 
. Интегрируя обе части последнего уравнения, получим 
или 
.
Далее применяем этот же метод еще раз: 
.
Затем аналогично получим 
,
откуда 
.
Общее решение примет вид: .
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
В этом уравнении явно не содержится переменная , поэтому замена 
обеспечивает понижение порядка дифференциального уравнения. Получим 
или 
, т.е. уравнение с разделяющимися переменными 
. Разделим обе части на 
и получим 
. Интегрируем 
или 
.
При интегрировании произвольную постоянную обозначим в виде 
для того, чтобы потенцированием упростить выражение:
или 
.
Возвращаясь к обозначению , продолжим решение дифференциального уравнения: 
или 
, следовательно, 
. Вычисляя интеграл в правой части понижением порядка 
, будем иметь: 
.
Общее решение имеет вид .
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
В этом уравнении в явном виде не содержится , поэтому можно понизить порядок дифференциального уравнения.
Обозначим , тогда 
. Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим 
, т.е. 
. Уравнение распадается на два уравнения: 
и 
.
Для решения уравнения запишем 
, следовательно, 
.
Уравнение – уравнение с разделяющимися переменными: 
или 
, следовательно, 
. Потенцируя, получим 
, где 
. Интегрируя 
, получим 
или в явном виде 
.
Общее решение имеет вид .
Линейные однородные уравнения n-го порядка
с постоянными коэффициентами
Это уравнения вида
, (4)
где 
, 
, 
,…, 
– постоянные, 
.
Решение. 1. Составляем характеристическое уравнение
.
Это алгебраическое уравнение будет иметь 
корней.
2. Находим корни 
.
3. По характеру корней выписываем фундаментальную систему решений (ФСР), руководствуясь следующим:
а) каждому действительному однократному корню 
соответствует решение 
.
б) каждой паре комплексно сопряженных корней 
и 
соответствуют два частных решения 
и 
;
в) каждому действительному корню кратности 
соответствует линейно независимых частных решений 
.
г) каждой паре комплексных сопряженных корней и кратности 
соответствуют 
частных решений:
, 
.
ФСР состоит из составляющих ( – порядок уравнения (4), или степень характеристического уравнения). Эти решения линейно независимы.
4. Найдя линейно независимых решений 
, строим общее решение данного линейного уравнения 
, где 
– произвольные постоянные.
Пример 4. 
.
1. Составим характеристическое уравнение: 
.
2. Находим корни: 
, 
и 
.
3. Корню соответствует решение 
, а корню – решение 
.
4. Записываем общее решение данного дифференциального уравнения: 
, 
-произвольные постоянные.
Пример 5. 
.
1. Составим характеристическое уравнение: 
.
2. Находим корни: 
, т.е. 
– корни совпадают, значит, корень 
– двукратный 
.
3. Корню кратности 2 соответствует два линейно независимых решения 
и 
.
4. Записываем общее решение однородного дифференциального уравнения 
.
Пример 6. 
.
1. Составим характеристическое уравнение: 
.
2. Находим корни: 
.
3. 
, 
– пара комплексно-сопряженных корней кратности 1, им соответствуют два частных линейно независимых решения: 
и 
.
4. Записываем общее решение данного дифференциального уравнения: 
.
Пример 7. 
.
1. Составим характеристическое уравнение: 
.
2. Находим корни: 
.
3. Записываем общее решение данного дифференциального уравнения: 
.