ЗАНЯТИЕ 14. Системы дифференциальных уравнений первого порядка. Сведение системы ДУ к одному уравнению высшего порядка
Общие сведения. Учитывая, что в предлагаемых для самостоятельных упражнений заданиях мы ограничиваемся системами, состоящими из двух уравнений, все общие выражения относим только к системам двух дифференциальных уравнений: (1)
где функции ,
– заданные, дифференцируемые.
Замечание: при ссылках на отдельные уравнения системы будем использовать двухпозиционные записи; например: (1.1) – ссылка на 1-е уравнение системы (1).
1). Продифференцируем уравнения (1.1) и (1.2) системы (1) по , учитывая, что
– некоторые функции независимой переменной
:
. (2)
Воспользовавшись уравнениями (1.1) и (1.2), запишем выражение (2) в виде:
. (3)
2). Из выражений (1.1) и (3) составим систему уравнений: (4)
Для удобства, в системе уравнений (4) принято: ,
. Применяя общие правила решения системы уравнений, выразим (считая, что это возможно!) из уравнения (4.1) функцию
и подставим её в уравнение (4.2):
. (5)
3). Уравнение (5) – дифференциальное уравнение 2-го порядка для функции . Решая это уравнение, получим:
, (6)
где ,
– произвольные постоянные. Используя решение
, вычисляем
и записываем:
.
4). Используя решения и
, оформляем общее решение исходной системы (1).
Пример 1–412: Решить систему уравнений: (1)
Решение:
Замечание: система уравнений не является линейной, применим метод сведения системы уравнений к одному уравнению 2-го порядка относительно или
.
1). Продифференцируем по t уравнение (1.1): =–
, учтём (1.2)
=–
. Далее учитываем из (1.1):
=
, после чего получаем уравнение:
, или
. Последнее равносильно уравнению
.
2). Интегрируя уравнение , получаем:
=
, или
.
3). Учитывая уравнение (1.1), из выражения =
получаем:
.
4). Общее решение записывается в виде системы: .
Ответ: общее решение системы: .
Пример 2–414: Решить систему уравнений: (1)
Решение:
1). Умножив (1.1) на и учитывая (1.2), получим:
. Интегрируя последнее, легко получаем:
.
2). Перепишем (1.1), применяя тождественные преобразования: =
=
+
. Учитывая (1.2), запишем:
=
+
, или
=–
. Последнее уравнение легко интегрируется (если иметь в виду
):
.
3). Используя выражения и
, легко получить (сложив эти выражения!):
. Модифицируя постоянные:
2
;
2
, запишем:
. Возводя последнее выражение в квадрат, и учитывая выражение
, получим:
=
. Используя
, нетрудно получить
=
.
Замечание: Пример хорошо иллюстрирует возможности импровизации при решении системы ДУ применением метода сведения системы к одному уравнению высшего порядка.
Ответ: общее решение системы: .
Пример 3–416: Решить систему уравнений: (1)
Решение:
1). Из уравнения (1.1) получим: =
, аналогично из (1.2):
=
. Эти два выражения дают:
=
.
2). Учитывая , перепишем (1.1):
=
=
. Или в виде:
=
– однородное уравнение в стандартной форме. Его стандартное решение даёт:
. Замечание: проверка условия:
здесь не нужна из-за участия произвольной постоянной величины
.
Ответ: общее решение системы: .
Пример 4–418: Решить систему уравнений: =
=
(1)
Решение:
1). Из уравнения: =
получаем:
. Учитывая полученное выражение, запишем уравнение:
=
или:
=1+
.
2). Полученное уравнение стандартным алгоритмом приводится к уравнению с разделяющимися переменными! Пусть: , вычислим производную по переменной
, имеем:
. Тогда
, окончательно:
– переменные разделились! Интегрируя последнее, получаем выражение:
, или
.
Ответ: общее решение системы: ,
.
Пример 5–420: Найти общее и частное решения:
,
. (1)
Решение:
1). Продифференцируем уравнение (1.2): =–
=
. Учитывая уравнение (1.2) получим уравнение:
, которое не содержит переменной
и решается понижением порядка.
. Тогда имеем:
, или (так как из уравнения (1.2):
) уравнение:
– уравнение с разделяющимися переменными, откуда:
и далее выражение:
.
2). Дифференцируем выражение: и используем уравнение (1.2). Полученное выражение для функции
:
.
3). Общее решение уравнения: ,
.
4). Используя заданные начальные условия, имеем: ,
, откуда получаем величины
,
. Записываем частное решение:
,
.
Ответ: Частное решение: ,
.
Пример 6–422*: Для системы уравнений: и функций
и
.
проверить, являются ли соотношения первыми интегралами системы.
Решение:
Замечание: является первым интегралом системы
,
тогда и только тогда, когда:
. (1)
1). Проверим уравнение (1) для функции :
– тождественно. Является.
2). Проверим уравнение (1) для функции :
. Не является.
Ответ: соотношение – является, а соотношение
– не является.
Пример 7–427: Решить систему уравнений: (1).
Решение:
1). Перепишем уравнение (1.1):
. Для дальнейшего использования уравнение (1.2) запишем в виде:
.
2). Продифференцируем уравнение (1.1): . Учитывая выражения для функции
и для произведения
, получим уравнение
, которое после умножения на
. принимает вид:
– уравнение Эйлера. (2)
3). Применим подстановку: .Вычисляя производные
,
и учитывая уравнение (2), получаем уравнение:
. Его корни:
=
,
=
.
4). Записываем ФСР: =
и
=
. Общее решение:
=
.
5). Вычислим производную: . Учитывая полученное ранее выражение
, получаем:
=
.
Ответ: общее решение системы =
;
=
.
Замечание: обратим внимание на особенности применения способа решения системы ДУ сведением к уравнению высшего порядка для одной из искомых функций: здесь интенсивное применение средств математического анализа сочетается с достаточно тонкими средствами школьной алгебры!..
* * * * * * * * * *
Домашнее задание
Дом. | Л-2, Гл. 10 | № 413, 415, 417, 419, 421, 429. |
Вопросы для самопроверки:
1. Что такое «нормальная форма» записи системы уравнений 1-го порядка?
2. Как уравнение n-го порядка представить в виде системы уравнений 1-го порядка?
3. Как систему уравнений 1-го порядка сводят к одному уравнению n -го порядка?
4. Как записывают начальные условия для системы трёх уравнений 1-го порядка?
< * * * * * >