ГЛАВА II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Ряднов А.В.

§1. Общие понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = y(x) и ее производные , т.е. уравнение вида

F(x, ) = 0

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (a,b) называется функция y = (x), определенная на интервале (a,b) вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции y = (x) и ее производных в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по x на (a,b).

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

F( ) = 0, (1)

где F( ) – заданная функция переменных x, y, .

Если уравнение (1) удается разрешить относительно , то получится

= f(x,y) (2)

- дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

Иногда дифференциальные уравнения первого порядка записываются в форме

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0. (3)

Здесь P(x,y) и Q(x,y) - заданные функции переменных x и y. В этом случае за неизвестную функцию можно принять как x, так и y.

Задачей Коши называют задачу нахождения решения y=y(x) уравнения y'= f(x,y), удовлетворяющего начальному условию y(x_o) = y_o (другая запись y |_x=_xo= y_o). Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную точку M_o(x_o,y_o) плоскости XOY .

Вопрос о существовании решений дифференциального уравнения (2) решается следующей теоремой.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Пусть задано дифференциальное уравнение y'= f(x,y), где функция f(x,y) удовлетворяет условиям:

а) f(x,y) есть непрерывная функция двух переменных x и y в области D,

б) f(x,y) имеет частную производную , ограниченную в области D,

тогда найдется интервал (x_o – d, x_o + d), на котором существует и притом единственное решение y =у(x) данного уравнения, удовлетворяющее условию y(x_o) = y_o.

Геометрически это означает, что через каждую точку M_o(x_o,y_o) проходит одна и только одна интегральная кривая дифференциального уравнения (2).

Теорема имеет локальный характер: она гарантирует существование единственного решения y = y(x) уравнения (2) лишь в достаточно малой окрестности точки x_o.

Из теоремы вытекает, что уравнение (2) имеет бесконечное множество различных решений (например, одно решение, график которого проходит через точку M_o(x_o,y_o); другое решение, когда график проходит через точку M₁(x_o,y₁), где y₁y_o и т.д.).

Теорема дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения

y' = f(x,y), но эти условия не являются необходимыми. Именно, может существовать единственное решение уравнения y' = f(x,y), удовлетворяющее условию y(x_o)=y_o, хотя в точке M_o(x_o,y_o) не выполняются условия a) или б) или оба вместе.

Если отказаться от ограниченности частной производной , то решение задачи Коши будет существовать, но оно может быть не единственным.

Функция y = (x,C), зависящая от одной произвольной постоянной C, называется общим решением дифференциального уравнения (2) в области D на плоскости xOy, где выполняются условия существования и единственности решения, если 1) она удовлетворяет уравнению (2) при любых допустимых значениях постоянной C; 2) для любого решения y = y^*(x) дифференциальное уравнение (2), график которого лежит в области D, найдется такое значение константы C = C^*, что y^*(x)= (x,C^*).

Частным решением дифференциального уравнения (2) называется решение, получаемое из общего решения при каком-либо конкретном значении произвольной постоянной C (иногда включают C = ±). Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

В процессе интегрирования дифференциального уравнения мы часто приходим к уравнению

(x,y,C) = 0, (4)

неявно задающего общее решение уравнения. Уравнение (4) называется общим интегралом дифференциальногоуравнения (2) в области D. При соответствующем выборе значения C оно определяет любую интегральную кривую, проходящую в области D.

Замечание. Обычно, когда находят общее решение, довольствуются получением решения или интеграла, зависящего от произвольной постоянной C, не обращая внимания на область D, указанную в определении. Однако надо при этом иметь в виду, что полученное решение не обязательно включает в себя все решения данного уравнения. Некоторые интегральные кривые могут выпасть из рассмотрения в ходе решения. Для их определения требуется специальное исследование.

Решение y = (x) дифференциального уравнения (2) называется особым, если в каждой его точке нарушается свойство единственности, т.е. если через каждую его точку кроме этого решения проходит и другое решение уравнения (2), не совпадающее с y = (x) в сколь угодно малой окрестности этой точки. График особого решения называется особой интегральной кривой. Для существования особого решения дифференциального уравнения (2) необходимо, чтобы не выполнялись условия теоремы существования и единственности решения.

Через каждую точку M(x,y) из области определения дифференциального уравнения (2) проведем прямую, тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен f(x,y). Это семейство прямых называется полем направлений дифференциального уравнения y' = f(x,y). Интегральная кривая дифференциального уравнения (2) в каждой своей точке касается поля направлений этого уравнения. Задача интегрирования этого уравнения может быть истолкована так: найти такую кривую, чтобы касательная к ней в каждой точке имела направление, совпадающее с направлением поля дифференциального уравнения (2) в этой точке.

Задача построения поля направлений (а значит и построения интегральной кривой дифференциального уравнения (2)) часто решается введением изоклин. Изоклиной называется геометрическое место точек в которых направление поля дифференциального уравнения (2) одинаково. Все интегральные кривые, пересекающие данную изоклину, в точках пересечения наклонены к оси абсцисс под одним и тем же углом.

Семейство изоклин дифференциального уравнения (2) определяется уравнением

F(x,y) = K, (5)

Где K – параметр. Нулевая изоклина f(x,y) = 0 определяет геометрическое место возможных точек экстремума интегральных кривых дифференциального уравнения (2). Для большей точности построения интегральных кривых определяют направление выпуклости и точки перегиба этих кривых (если такие точки существуют). Для этого находят y''. В силу уравнения (2), получаем

y'' = f'_x + f'_yy' = f'_x(x,y) + f'_y(x,y)f(x,y) (6)

Знак правой части (6) определяет знак y'' , т.е. направление выпуклости интегральных кривых. Линия, заданная уравнением

f'_x(x,y) + f'_y(x,y)f(x,y)=0

есть геометрическое место возможных точек перегиба интегральных кривых дифференциального уравнения (2).

§2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение вида:

(1)

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Если в точке y = C_o, g(C_o) = 0, то функция y = C_o является решением уравнения (1).

Разделяя переменные (путем деления на g(y)), мы получим, что решения уравнения (1) (вдоль которых g(y) 0), удовлетворяют соотношению

(2).

Уравнения вида , (3)

где a,b,c-постоянные, заменой переменных приводятся к уравнению с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, записанное в дифференциалах, имеет вид

₁(x)₁(y)dx + ₂(x)₂(y)dy = 0 (5)

В нем коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и только от y. Путем деления на ₁(y)₂(x) оно приводится к уравнению с разделенными переменными:

(6)

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

Замечание. Деление на может привести к потере частных решений y =C_o, таких, что

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Представим данные уравнения в виде: . Разделив обе части уравнения на произведение (заметим, что 0), получим уравнение с разделёнными переменными .

Интегрируя полученное уравнение, последовательно получим:

, .

Отсюда - общий интеграл данного уравнения.

Пример 2. Решить уравнение

Решение: Перепишем данное уравнение в виде .

Функции y = 0 и y = -2 являются решениями уравнения ( ). Остальные решения найдем, разделив переменные в уравнении и проинтегрировав его:

, , ,

, , C 0.

Поскольку ранее найденное решение

y = 0 можно получить из последнего соотношения, положив

C = 0, то

или

Ответом задачи будут являться это решение и полученное ранее y = -2.

Пример 3. Найти решение задачи Коши.

Решение: Имеем .

Разделяя переменные, получим . Проинтегрировав правую и левую части, найдем: , .

Из условия y(0)=1 будем иметь , откуда .

Подставляя найденные значения C, получим частное решение (решение задачи Коши)

, ,

откуда .

Из начального условия следует, что y>0, т.к. y(0)=1>0. Поэтому перед корнем берем знак плюс. Таким образом, решение задачи Коши имеет вид .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение: Данное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными, если положить . Имеем , . Одно решение последнего уравнения очевидно: z = -2, т.к. z + 2 = 0. Находим остальные его решения, разделяя переменные и интегрируя

, , , С 0.

Решение. z = -2 можно получить из последнего соотношения при C = 0, поэтому .

Окончательно или .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Замена приводит это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными , , .

Функции z = 2k, k – целое число (cos z =1) являются решениями последнего уравнения. Остальные его решения получаются путем разделения переменных и интегрирования

. Отсюда , , ,

n – целое число. Таким образом , окончательно и .

Пример 6. Найти частные решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям: а) ; б) .

Решение: Функция (решение уравнения ) является решением уравнения. Остальные решения найдем, разделив переменные в уравнении и проинтегрировав его:

После потенцирования получим:

или

Поскольку ранее найденное решение можно получить из последнего соотношения, положив С=0, окончательно получим:

, , что является общим решением исходного уравнения.

а) Положим , тогда , откуда С=1. Исходное частное решение .

б) Полагая в общем решении , , будем иметь , откуда С=0. Тогда искомое решение задачи Коши примет вид .

Задачи

Найти решение уравнений:

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

§3. Однородные дифференциальные уравнения

Функция f (x,y) называется однородной степени nотносительно переменных x и y, если при любом допустимом справедливо тождество . Например, функции

являются однородными степени 0, 0, 2, k соответственно. Дифференциальное уравнение называется однородным, если f (x,y) – однородная функция степени нуль, т.е. для всех .

Уравнение является однородным, если и есть однородные функции одной и той же степени.

Замена приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

К однородным уравнениям приводятся уравнения вида

(1)

Это достигается линейной заменой

, , где и есть решение системы линейных уравнений

, (2)

если эта система имеет единственное решение.

В этом случае получаем однородное уравнение .

В случае, когда система (2) не имеет решений, то тогда и уравнение (1) приводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены

Пример 1: Решить уравнение

Решение. Данное уравнение является однородным. Положив , получим

, , , , ,

- общий интеграл.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Введем замену .

Имеем

или , .

Интегрируя, получим:

Отсюда общее решение:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение однородное. Замена переменных приводит к уравнению

или

где

Очевидно, что функции и есть решения уравнения. Другие его решения найдем, разделяя переменные и интегрируя

, .

Заменяя на , получим общее решение: .

Пример 4. Решить уравнение

Решение: Решаем систему линейных уравнений ,

получаем:

Введем замену , получим однородное уравнение

Пусть , тогда

, .

Разделяя переменные и интегрируя получим: , ,

Потенцируя, получим

При разделении переменных мы могли потерять решение , но при С=0 оно получается из общего решения. Возвращаясь к переменным x и y, получаем общее решение:

или

Задачи

10.

11.

12.

13.

§4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид

, (1)

где - заданные функции от x, непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение.

Если , то уравнение (1) называется однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение в виде (2)

Уравнение вида

(3)

Называется уравнением Бернулли.

При это уравнение является линейным.

Заметим, что при является решением уравнения Бернулли. Оно может потеряться при указанном ниже способе нахождения общего решения уравнения (3).

Решение уравнения Бернулли (3) ищем в виде . Имеем:

Выберем в качестве одно из ненулевых решений уравнения . Например, (см.(2))

(4)

Тогда находим из уравнения

(5)

Перемножая на , получим общее решение уравнения Бернулли.

Уравнение

y' + a(x)y² + b(x)y + c(x) = 0 (6)

называется уравнением Риккати. Это уравнение в общем случае не решается в квадратурах (т.е. решение нельзя выразить в виде формулы, содержащей элементарные функции и интегралы от них). Если известно одно частное решение y = y₁(x), то заменой

y = y₁ + z (7)

уравнение Рикатти сводится к уравнению Бернулли.

Замечание. Вместо подстановки (7) часто бывает практически более выгодна подстановка y = y₁(x) + 1/z(x), которая сразу приводит уравнение Риккати (6) к линейному уравнению

z' - (2a(x)y₁(x) + b(x))z = a(x).

Замечание. При решении уравнения Бернулли для удобства, деля на коэффициент при , мы добиваемся того, чтобы коэффициент при был равен 1.

Пример 1. Решить уравнение

Решение: Данное уравнение является линейным. Деля обе части уравнения на x, получаем: . Ищем решение этого уравнения в виде произведения двух функций . Имеем

Выберем функцию из уравнения

. Это уравнение с разделяющимися переменными и его частное решение найдем по формуле (4).

Подставим в уравнение, получаем: ,

т.е. . Следовательно, все решения исходного уравнения определяются формулой

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Его решение найдем в виде .

Примем за v какое либо решение уравнения , например,

(см.(4))

Тогда после подстановки получаем уравнение , или

Одно из решений этого уравнения есть u = 0 или y = 0 (это решение надо было сразу выделить, поскольку , см. замечание выше). Остальные решения найдем, разделяя переменные и интегрируя ,

, ,

Решениями исходного уравнения будут: y = 0 и

Пример 3. Решить уравнение

y' + ay(y-x) = 1.

Решение. Имеем y' – axy + ay² =1. Данное уравнение является уравнением Риккати. Нетрудно заметить, что y = x является решением этого уравнения. Поэтому замена y = x + z приводит его к уравнению Бернулли:

z' + a(x + z)z = 0, z' + axz = -az².

Положив z = uv, имеем

u'v + uv' + axuv = -au²v²

Возьмем в качестве v(x) одно из решений уравнения

v'+ axv = 0,

Например,

Тогда u(x) определим из уравнения

Поэтому общее решение имеет вид:

и y = x.

Замечание. Может оказаться, что дифференциальное уравнение линейно относительно x как функция от y. Нормальный вид такого уравнения

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение является линейным, если рассматривать x как функцию от y . Получаем (используя формулу для производной обратной функции = 1/ ):

Положив x = u(y)v(y), имеем:

Возьмем в качестве одно из ненулевых решений уравнения , например (см. (4))

Тогда уравнение для

или

Отсюда, интегрируя по частям, будем иметь

Итак, общее решение уравнения будет иметь вид:

Пример 5. Решить задачу Коши:

Решение: Деля на ищем общее решение уравнения

(1*)

в виде . Имеем

Подставляя выражения для и

в (1*), получим

или

(2*)

Функцию находим из условия

, беря частное решение в виде (см.(4))

Подставляя в (2*), после упрощения получаем уравнение , из которого находим функцию ;

Следовательно, общее решение уравнения (1*) будет

Используя начальное условие: , получаем для нахождения С уравнение , откуда

С = 0. Итак, решением поставленной задачи Коши будет

Задачи

10.

11. . Указание: частное решение искать

в виде . и .

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31. частное решение.

32.

- частное решение.

33. частное решение.

§5. Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение (1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции , т.е.

Для того, чтобы уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы (2)

Если известна функция , полным дифференциалом которой является левая часть уравнения (1), то общий интеграл уравнения (1) имеет вид

или , (3)

где С- произвольная постоянная.

Чтобы найти функцию u(x,y), воспользуемся равенствами

и (4)

Интегрируя первое из этих равенств по x, определим функцию u(x,y) с точностью до произвольной дифференцируемой функции

, (5)

где - первообразная от M(x,y).

Дифференцируя (5) по y с учетом второго равенства из (4), получаем уравнение для определения функции

Пример 1. Решить уравнение

Решение: В данном случае

Таким образом, , т.е. левая часть данного уравнения действительно является полным дифференциалом некоторой функции .

Для искомой функции имеем:

, .

Из первого уравнения получим:

Для определения функции дифференцируем последнее равенство по y:

+ ,

т.е. . Отсюда

Поэтому

Решения уравнения запишутся в виде

То же самое можно получить более просто, используя формулу (3) беря x_o=y_o=0. Действительно, имеем

Замечание. Формула (3) есть не что иное, как вычисление криволинейного интеграла по координатам

где точки M_o(x_o,y_o) и M(x,y) и путь интегрирования лежат в области непрерывности функций M(x,y) и N(x,y) и их частных производных, причем, M_o(x_o,y_o) – некоторая фиксированная точка. В формуле (3) этот путь состоит из двух прямых, параллельных осям OX и OY, соединяющим точки M_o(x_o,y_o), M(x,y_o) и M(x,y_o), M(x,y).

Пример 2. Решить уравнение

Решение: В данном случае

т.е. левая часть данного уравнения является полным дифференциалом некоторой функции . Искомую функцию определим из соотношения . Имеем:

Отсюда . Таким образом, ,

Поэтому

Все решения исходного уравнения определяются из соотношения

При интегрировании некоторых дифференциальных уравнений можно так сгруппировать члены, что получатся легко интегрируемые комбинации.

Пример 3. Решить уравнение

Решение: Запишем уравнение в виде

Нетрудно заметить, что это уравнение в полных дифференциалах.

Решить его можно и так:

Следовательно, - есть общий интеграл исходного уравнения.

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение

Решение: Здесь , т.е. условие(2) выполнено и, следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Это уравнение можно привести к виду непосредственной группировкой его членов. С этой целью перепишем его так:

Очевидно, что ,
,

Поэтому уравнение можно записать в виде

или

Следовательно,

есть общий интеграл данного уравнения.

Задачи

10.

11.

12.

§6.Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной

Дифференциальное уравнение первого порядка, неразрешенное относительно производной, имеет вид

(1)

При решении такого уравнения желательно разрешить его относительно , т.е. получить одно или несколько уравнений, разрешенных относительно производной:

(2)

Однако не всегда уравнение (1) разрешается относительно производной и еще реже полученные после разрешения относительно уравнения (2) легко интегрируются. Поэтому уравнения вида (1) часто приходится решать методом введения параметра. Рассмотрим простейший вариант этого метода.

Пусть уравнение (1) разрешается относительно y или относительно x, например его можно записать в виде

Введя параметр , получим