КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. Ч.3. 3 страница
(9)
Характеристическое уравнение
имеет корни , следовательно, в силу теоремы 2 точка покоя систем (8) и (9) неустойчива (т.к.
).
Пример 2.
Исследовать на устойчивость точку покоя системы
(10)
Имеем:
(10a)
т.е. удовлетворяют условиям теорем 1 и 2. Характеристическое уравнение для системы первого приближения
(11)
т.е.
имеет корни с отрицательными действительными частями. Поэтому точки покоя систем (10) и(11) асимптотически устойчивы.
Пример 3.
Исследовать на устойчивость точку покоя системы
(12)
Характеристическое уравнение системы I приближения имеет чисто мнимые корни
критический случай. Исследование по I приближению невозможно. В данном случае легко подбирается функция Ляпунова
1)
2)
причем вне некоторой окрестности начала координат , следовательно, точка покоя
по теореме Ляпунова асимптотически устойчива.
Система уравнений первого приближения
(13)
имела в точке покоя центр. Наличие нелинейных членов в системе (12) превратило этот центр в устойчивый фокус.
Рассмотрим ситуацию последнего примера в общем виде. Пусть система I приближения для системы
(14)
имеет точку типа центра в начале координат. Предположим, что нелинейные члены имеют порядок выше первого относительно
. Эти нелинейные члены в достаточно малой окрестности начала координат малы по сравнению с линейными членами, но всё же они несколько искажают поле направлений, определяемое линейной системой первого приближения, поэтому выходящая из некоторой точки
траектория после обхода начала координат, вообще говоря, не попадет в точку
траектория не замыкается.
Если после такого обхода начала координат все траектории приближаются к нему, то в начале координат возникает устойчивый фокус, если же траектории удаляются от начала координат, то возникает неустойчивый фокус.
В виде исключения возможен также случай, когда все траектории нелинейной системы, расположенные в окрестности начала координат, остаются замкнутыми, однако наиболее типична ситуация, при которой лишь некоторые (может быть и ни одной)
замкнутые кривые останутся замкнутыми, а остальные превращаются в спирали. Такие замкнутые траектории, в окрестности которых все траектории являются спиралями, называются предельными циклами.
Рис. 1 Рис. 2
Если близкие к предельному циклу траектории являются спиралями, приближающиеся при к предельному циклу, то предельный цикл называется устойчивым (аттрактором); если близкие к предельному циклу траектории являются спиралями, удаляющимися от предельного цикла при
, то предельный цикл называется неустойчивым (репеллером); если же с одной стороны предельного цикла при
спирали приближающиеся к предельному циклу, а с другой стороны удаляются от него (рис. 2), то предельный цикл называется полуустойчивым.
Итак, переход от системы I приближения (5) к системе (14) приводит, вообще говоря, к превращению центра в фокус, окруженный (может быть и
) предельными циклами.
В приложениях устойчивым предельным циклам обычно соответствуют автоколебательные процессы, т.е. периодические процессы, в которых малые возмущения практически не изменяют амплитуды и частоты колебаний.
4. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка
Наиболее общее уравнение с частными производными I порядка с независимыми переменными может быть записано в виде
, (1)
где – заданная функция,
- искомая функция,
– независимые переменные.
Пример 1.
.
Интегрируя, имеем
,
где - произвольная функция от
.
Пример 2.
.
Интегрируя по , получим
,
где - произвольная функция
. Интегрируем теперь по
:
,
где - произвольная функция от
. Окончательно имеем:
,
где
-
произвольная функция.
Из приведенных примеров видно, что общее решение дифференциального уравнения с частными производными I порядка зависит от одной произвольной функции, общее решение уравнения II порядка – от двух произвольных функций.
Линейным неоднородным уравнением или квазилинейным уравнением I порядка в частных производных называется уравнение вида:
. (2)
Это уравнение линейно относительно производных, но может быть нелинейным относительно неизвестной функции .
Если , а коэффициенты
не зависят от
, то уравнение (2) называется линейным однородным.
Рассмотрим вначале квазилинейное уравнение с двумя независимыми переменными
, (3)
где непрерывны в некоторой области изменения переменных и не обращаются в нуль одновременно.
Рассмотрим непрерывное векторное поле
.
Векторные линии этого поля (т.е. линии, касательные к которым в каждой точке имеют направление, совпадающее с направлением вектора в той же точке) определяются из условия коллинеарности вектора
, направленного по касательной к искомым линиям, и вектора поля
:
. (4)
Это система дифференциальных уравнений векторных линий.
Поверхности, составленные из векторных линий, точнее, поверхности целиком содержащие векторные линии, имеющие хотя бы одну общую точку с поверхностью, называются векторными поверхностями.
Очевидно, векторные поверхности можно получить, рассматривая множество точек, лежащих на произвольно выбранном непрерывно зависящем от параметра однопараметрическом семействе векторных линий. Векторная поверхность характеризуется тем, что вектор , направленный по нормали к поверхности в любой ее точке, ортогонален вектору поля
:
(5)
Если векторная поверхность задана уравнением , то вектор
,
и условие (5) принимает вид:
. (3)
Если же векторная поверхность задана уравнением (неявно), т.е.
,
то условие (5) имеет следующий вид:
. (6)
Следовательно, для нахождения векторных поверхностей надо проинтегрировать квазилинейное уравнение (3) или линейное однородное уравнение (6) в зависимости от того, ищем ли мы уравнение искомых векторных поверхностей в явном или неявном виде.
Т.к. векторные поверхности могут быть составлены из векторных линий, то интегрирование уравнений (3) или (6) сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений векторных линий (4).
4.1. Первые интегралы систем дифференциальных уравнений
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
. (7)
Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием системы (7), но уже легко интегрирующееся, например, являющееся уравнением вида
)
или уравнением, которое может быть сведено путем замены переменных к какому-нибудь интегрируемому типу уравнений с одной неизвестной функцией.
Пример 3.
.
Складывая обе части равенств, найдем интегрируемую комбинацию
,
т.е.
,
откуда
.
Вычитая, найдем вторую интегрируемую комбинацию
,
откуда
.
Итак,
,
.
Следовательно,
.
Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно соотношение
,
связывающее неизвестные функции и независимую переменную; такое соотношение называется первым интегралом системы (7).
Итак, первым интегралом
(8)
системы уравнений (7) называется соотношение, не равное тождественно постоянной, содержащее в левой части независимую переменную и искомые функции и принимающее постоянное значение, если вместо искомых функций подставить какое-нибудь решение системы (7).
Геометрически первый интеграл (8) при фиксированном можно интерпретировать как
-мерную поверхность в
-мерном пространстве с координатами
, обладающую тем свойством, что каждая интегральная кривая, имеющая общую точку с этой поверхностью, целиком лежит на поверхности.
При переменном получаем семейство непересекающихся поверхностей, состоящих из точек некоторого
- параметрического семейства интегральных кривых системы (7).
Если найдено интегрируемых комбинаций, то получаем
первых интегралов
(9)
Если все эти интегралы независимы, то есть если хотя бы один из определителей
,
где какие-нибудь
функций из
, не равен нулю, то из системы (9) можно выразить
неизвестных функций через остальные и, подставив в систему (7), понизить ее размер. Если
и все интегралы независимы, то все неизвестные функции определяются из (9).
Пример 4.
где . Умножив первое уравнение на
, второе – на
, третье – на
и складывая, получим
,
т.е. имеем I- й интеграл:
.
Умножим первое уравнение на , второе – на
, третье – на
и складывая, имеем
.
Откуда получаем следующий I- й интеграл:
.
За исключением случая , когда система интегрируется непосредственно, найденные первые интегралы независимы и, следовательно, можно исключить две неизвестные функции, а для нахождения третьей получим одно уравнение с разделяющимися переменными.
Для нахождения интегрируемых комбинаций часто удобно переходить к так называемой симметричной форме записи системы уравнений (7):
, (10)
где
=
.
Характеристики
Вернемся к системе дифференциальных уравнений векторных линий
. (11)
Пусть ,
- два независимых первых интеграла системы (10). Выделим из двухпараметрического семейства векторных линий
,
,
называемых характеристиками уравнения (3) (или (6)), произвольным способом однопараметрическое семейство, устанавливая какую-нибудь (произвольную) непрерывную зависимость между параметрами
и
. Исключая из системы
,
,
параметры и
, получим искомое уравнение векторных поверхностей
, (12)
где – произвольная функция. Тем самым найден общий интеграл квазилинейного уравнения (3), зависящий от произвольной функции.
Если требуется найти не произвольную векторную поверхность поля
,
а поверхность, проходящую через заданную линию, определяемую уравнениями , то функция
в (12) будет уже не произвольной, а определится путем исключения переменных
из системы уравнений
,
,
которые должны одновременно удовлетворяться в точках заданной линии , через которую мы проводим характеристики, определяемые уравнениями
.
Задача станет неопределенной, если заданная линия является характеристикой, т.к. в этом случае эту линию можно включить в различные однопараметрические семейства характеристик и тем самым получить различные интегральные поверхности, проходящие через эту линию.
Таким образом, характеристики – это кривые, через которые проходит бесконечное множество интегральных поверхностей.
Итак, общий интеграл квазилинейного уравнения
, (3)
зависящий от произвольной функции может быть получен следующим образом: интегрируем вспомогательную эквивалентную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
(4)
и, найдя два независимых первых интеграла этой системы
,
,
получаем искомый интеграл в виде , где
– произвольная функция.
Уравнение интегральной поверхности уравнения (3), проходящей через заданную линию , можно найти, если взять функцию
не произвольно, а определив функцию
путем исключения
из уравнений
,
,
в результате чего получим уравнение , и искомым интегралом будет
.
Пример 5.
Найти общий интеграл уравнения
.
Вспомогательная система уравнений имеет вид (здесь )
.
Ее первые интегралы: . Общий интеграл:
, где
– произвольная функция.
Пример 6.
Найти интегральную поверхность уравнения
,
проходящую через кривую .
Интегрируем систему
,
откуда имеем первые интегралы: . Исключаем
из уравнений
,
.
Получаем , откуда
.
Пример 7.
Найти интегральную поверхность того же уравнения, проходящую через окружность
.
Заданная кривая является одной из векторных линий (характеристик), таким образом, задача неопределенна. Действительно, интегральными поверхностями рассматриваемого уравнения являются всевозможные поверхности вращения , ось которых совпадает с осью
. Существует бесконечное множество таких поверхностей, проходящих через заданную окружность, например, параболоиды вращения
,
,
, , сфера
и т.д.
5. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка с независимыми переменными.
Рассмотрим уравнение вида
, (1)
где – заданные функции, непрерывные и дифференцируемые в рассматриваемой области изменения независимых переменных
;
– искомая функция. Наряду с уравнением (1) запишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений
, (2)