РАЗДЕЛ 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решение примеров типового варианта
1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. Ответ представить в виде 
(x,y)=C.
а) 
, 
, 
Решение.Разделим переменные. Для этого преобразуем данное уравнение, вынося общий множитель слева 
: 
.
Разделим правую и левую части равенства на произведение множителей, стоящих не у своих дифференциалов, т.е. на 
:
, или 
, или 
.
Проинтегрируем обе части последнего равенства: 
, или 
, или 
, откуда 
- общий интеграл данного уравнения.
2.Найти решение задачи Коши
а) 
, если 
при 
.
Решение.Разделив все члены данного уравнения на , приведем его к виду
Имеем линейное уравнение вида 
. Здесь 
, 
.
Решим уравнение методом Бернулли. Положим 
, откуда 
.
Подставим эти значения в уравнение : 
Сгруппируем члены, содержащие, например 
, и вынесем за скобку 
.
Выберем функцию 
так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль. Тогда дифференциальное уравнение разобьется на два дифференциальных уравнения с разделяющимися переменными: 
Решаем уравнение (1) при 
: 
, 
.Интегрируя почленно, имеем:
, или 
,или 
. Подставим это значение в уравнение (2): 
или 
.
Интегрируя почленно, имеем: 
или 
.
Заменив в подстановке 
функции 
и их выражениями из равенств (1) и (2), получим искомое общее решение данного уравнения:
, или 
.
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным данным 
при . Для этого подставим в найденное общее решение начальные условия: Получим 
или 
.
Искомое частное решение данного уравнения имеет вид 
.
Замечание.Искомое решение уравнения можно найти методом Лагранжа.
Соответствующее однородное уравнение есть 
или 
.
Разделяя переменные, получим 
, откуда 
или 
Это решение однородного уравнения.
Считая С функцией от x, дифференцируя, находим
Подставляя y и 
в исходное дифференциальное уравнение 
получаем 
или 
. Откуда 
.
Отсюда получаем выражение С через x:
Итак, общее решение уравнения будет 
или .
b) 
при 
, 
.
Решение. Составим характеристическое уравнение 
.
Найдем корни полученного квадратного уравнения : 
, откуда 
и 
. Так как корни действительные и 
, то общее решение имеет вид 
. Подставляя найденные значения 
и 
в формулу общего решения , имеем: 
.
Дифференцируя общее решение, получим
.
Согласно заданным начальным условиям имеем
, или 
,
или 
, или 
, откуда
и 
. Таким образом, искомым частным решением является функция 
.
3.Найти общее решение дифференциального уравнения.
b) 
Решение.Общее решение исходного линейного неоднородного уравнения имеет вид 
, где 
– общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения 
, 
– частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения.
Характеристическое уравнение 
имеет корни 
откуда общее решение однородного уравнения имеет вид: 
Частное решение подбираем методом неопределенных коэффициентов. Правая часть дифференциального уравнения имеет специальный вид первого типа 
, т.к. 
. Корень 
не является корнем характеристического уравнения, не имеет кратности. Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде 
Для определения неизвестных коэффициентов А, В и С находим:
, 
.
Подставляя 
, 
и 
в исходное дифференциальное уравнение, получаем равенство: 
или
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему
из которой находим 
Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид:
.
в). 
Решение. Общее решение исходного линейного неоднородного уравнения имеет вид , где – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения 
, – частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения.
Характеристическое уравнение 
имеет корни 
, откуда общее решение однородного уравнения имеет вид 
Частное решение подбираем методом неопределенных коэффициентов.
Правая часть дифференциального уравнения имеет специальный вид второго типа 
, так как 
, где 
. Здесь 
Комплексные числа 
являются корнями характеристического уравнения 
и имеют кратность . Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде
или
Для определения неизвестных коэффициентов А1, В1 , А2 и В2 подставляем , и в исходное дифференциальное уравнение, получаем равенство:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему
Из системы находим 
так что 
Общее решение исходного уравнения есть
